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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 3, Tarefas de C3 - Profº Juan Maldonado - 3ª Tarefa, Questão 1

Calcule a integral de superfície

∬ x z d S

onde S é o limite da região delimitada pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0 e x + y = 5 .

Passo 1

Então meu caro colega, veja só:

S 1 : x = 0

S 2 : y 2 + z 2 = 9

S 3 : x = 5 - y

S é composta por três superfícies, então teremos 3 integrais

∬ x z d S = ∬ x z d S 1 + ∬ x z d S 2 + ∬ x z d S 3

Passo 2

Como x = 0 na nossa S 1 então a sua integral tem valor nulo. Agora iremos para S 2 , e vamos utilizar a seguinte parametrização:

r x , θ = x i + 3 cos ⁡ θ j + 3 sin ⁡ θ k ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ x ≤ 5 - y = 5 - 3 cos ⁡ θ

r x   x   r θ = 1,0 , 0 x   0 ,   - 3 sin ⁡ θ , 3 cos ⁡ θ ) = ( 0 ,   - 3 cos ⁡ θ ,   - 3 sin ⁡ θ

r x   x   r θ = 9 cos 2 ⁡ θ + 9 sin 2 ⁡ θ = 3

∬ x z d S 2 = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 - 3 cos ⁡ θ x ( 3 sin ⁡ θ ) ( 3 ) d x d θ = 3 ∫ 0 2 π 3 sin ⁡ θ x 2 2 0 5 - 3 cos ⁡ θ d θ

= 3 2 ∫ 0 2 π 3 sin ⁡ θ 5 - 3 cos ⁡ θ 2 d θ = 3 2 5 - 3 cos ⁡ θ 3 3 0 2 π

= 1 2 2 3 - 2 3 = 0

Passo 3

Agora para S 3 , podemos usar x como uma função de y e z, entao teremos

x y , z = 5 - y

∂ x ∂ y = - 1

∂ x ∂ z = 0

Então a nossa integral fica:

∫ 0 2 π ∫ 0 3 5 - r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ 2 r d r d θ

2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 5 r 2 sin ⁡ θ - r 3 sin ⁡ θ cos ⁡ θ d r d θ

2 ∫ 0 2 π 5 r 3 sin ⁡ θ 3 - r 4 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 4 0 3 d θ

2 ∫ 0 2 π 45 sin ⁡ θ - 81 4 sin ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

2 - 45 cos ⁡ θ - 81 4 ∙ sin 2 ⁡ θ 2 0 2 π

2 - 45 - 0 + 45 + 0 = 0

E no final das contas fizemos bastante contas para dar zero.

Resposta

0

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