Áreas de superfícies
Calcule a área da superfície S do semicone
Contida no interior do elipsoide:
Passo 1
Olhando as duas curvas, temos algumas possibilidades de parametrização. Tentar parametrizar com coordenadas polares tentando fazer a equação do elipsoide ficar comportada vai fazer a equação do cone ficar uma zona. Então vamos com calma.
Uma alternativa boa é parametrizar o cone com coordenadas cartesianas mesmo (parametrização explícita) e depois, na pior das hipóteses, se tudo der errado, nós mudamos de coordenadas na integral mesmo (com o Jacobiano). Essa ideia de parametrização explícita com o cone não é uma má ideia porque o vetor normal dele tem módulo constante. Vamos ver isso mais adiante.
Parametrizamos explicitamente por:
A parametrização acima corresponde ao cone todo. Mas a área que nós queremos é só a do cone no interior do elipsoide. O cone encontra o elipsoide quando as equações são iguais:
Passo 2
Achamos que é uma elipse. Portanto a região dos pontos no interior do elipsoide vão estar no interior da elipse. Portanto o conjunto dos pontos que fazem parte do cone estão dentro do elipsoide é:
Por outro lado, calculamos o elemento de área nesta parametrização:
Para calcular o produto vetorial calculamos as parciais primeiro:
Plugando no cálculo do produto vetorial:
Obtemos:
Cujo módulo é:
Por fim, temos, conforme tinha dito anteriormente, que o módulo do vetor normal é uma constante.
Portanto, a área de é dada por:
Como o domínio se trata de uma elipse, utilizamos a fórmula da área de uma elipse.
Dada uma elipse de equação:
A área desta é dada pr