UFRJ, P3-2019.1
Se e , assinale abaixo o vetor tal que
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Passo 1
Belezoca galerinha o enunciado deu pra gente que e e pede pra gente encontrar o vetor tal que:
Mas calma lá meu patrão, porque podemos tirar algumas informações bem audaciosas aqui rsrs. Saca só, como queremos elevar uma matriz a um expoente real, podemos usar a decomposição espectral pra nos ajudar nessa tarefa, ela diz que podemos decompor a matriz como:
Onde é a matriz diagonal que possui os autovalores na diagonal. Enquanto é a matriz que possui os autovetores nas colunas, na mesma ordem dos autovalores respectivos usados na diagonal de . Dessa forma a matriz elevada a alguma potência pode ser escrita como:
E uma matriz diagonal é MUUUITO mais fácil de elevar a algum expoente do que as matrizes normais no geral.
Então quer dizer que encontrando os autovetores e autovalores de , poderemos escrever a decomposição da matriz , e a partir disso elevar ela ao quadrado para conseguirmos encontrar o vetor .
Passo 2
Belezera galera, então para decompor nossa matriz precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz , e um autovalor possui um autovetor quando:
Ou seja, se a gente conseguir trocar TODA a operação que a matriz faz no vetor por uma constante real , então é um autovetor associado ao autovalor de . E pra encontrar isso a gente pode usar nossa carta na manga:
Saca só, o enunciado foi generoso com a gente e nos forneceu algumas informações bem valiosas. Primeiro ele diz que:
Ou melhor, podemos dizer que:
Então dado que o vetor , temos:
QUE É EXATAMENTE A NOSSA DEFINIÇÃO DE AUTOVALOR E AUTOVETOR!!!!
Ou seja, o vetor é um autovetor associado ao autovalor .
Iradoso, então seguindo essa mesma linha de raciocínio, o enunciado fornece que:
Ou melhor:
O que faz também de um autovetor associado ao autovalor de .
Ai a gente ficou bonito na foto, descobrimos nossos autovalores e de quebra já descobrimos também nossos autovetores.
Passo 3
Chuchu beleza então galerinha, como descobrimos os autovalores e autovetores, podemos montar nossas matrizes e , afim de completar nossa decomposição . Temos que para matriz :
Então de acordo com os autovalores que encontramos:
Show de bola, agora para , temos:
E conforme os autovetores que encontramos:
MARAVILHA!! Dessa forma nossa decomposição vai ficar assim:
Passo 4
E agora que começa a brincadeira, porque saca só, queremos , logo precisamos elevar nossa matriz ao quadrado:
Só que e também é igual 1, logo:
Agora que a malandragem vem, por que é o elemento neutro da multiplicação de matrizes, é como se fosse multiplicar só pelo número . Então a gente só retirar ele da representação que não muda o resultado, logo:
E como a malandragem veio e ficou, podemos fazer outra mudança aqui. Porque se liga só, agora a gente multiplicando uma matriz pela sua inversa:
Só que quando a gente faz isso, de multiplicar uma matriz pela sua inversa, o resultado SEMPRE, SEMPRE, SEMPRE vai ser a matriz identidade:
Então quer dizer que na verdade tuuuudo aquilo que decompomos da matriz , quando elevada ao quadrado nos deu:
Passo 5
Agora que descobrimos os segredos mais íntimos desse exercício, podemos juntar tudo e descobrir a verdade sobre ele, saca só, temos que:
Logo:
E como a matriz identidade é neutra na multiplicação, temos que:
Resposta certa: Alternativa (d).
Resposta
Letra (d).