Seja A uma matriz Considere as afirmações abaixo:
(I) Se as colunas de U formam uma base do composta por autovetores de A então existe D diagonal tal que
(II) As matrizes e tem os mesmos autovalores.
(a) (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Passo 1
(I) Se as colunas de U são vetores que formam uma base de , então U tem colunas LI.
Isso significa que:
E U é invertível.
Se aplicamos à direita dos dois lados da igualdade:
Opa, e foi isso que a gente viu em diagonalização!
Se uma matriz A tem uma base de autovetores, então ela pode ser escrita como o produto
Com D diagonal (com autovalores na diagonal principal) e P a matriz formada pelos autovetores nas colunas.
Por isso essa afirmação é verdadeira.
Passo 2
(II) Lembra que:
E vimos também que:
Logo:
E as duas matrizes têm os mesmos autovalores, portanto a afirmação também é verdadeira.
Resposta
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.