A5 T6
A transformação linear realiza a reflexão ortogonal dos vetores de pelo plano , seguida da multiplicação por . Então é FALSO afirmar que:
Dimensão do núcleo de é igual a
é diagonalizável
é invertível
e são autovalores de
Passo 1
Tá, nós refletimos os vetores por um plano e depois multiplicamos tudo por . Então vamos ler as afirmativas:
“Dimensão do núcleo de é igual a ”
Como estamos trabalhando com matrizes quadradas as coisas ficam bem mais fáceis. Se essa fosse falsa, a dimensão do núcleo seria maior que zero. Logo, precisaríamos ter o autovalor zero. Como estamos refletindo e multiplicando, nenhum vetor vai ser levado no zero! Logo, não temos autovalor zero. Essa é verdadeira.
Passo 2
“ é diagonalizável”
Repare que, nesse caso, temos o plano associado ao autovalor e a reta dada pelo vetor associada ao autovalor !
Porque ao refletimos pelo plano, os vetores do plano ficam imóveis e depois são multiplicados por . Logo, autovalor .
Já os vetores da reta ortogonal ao plano trocam de direção e também são multiplicados por , logo, acabam multiplicados por . Autovalor !
A soma das dimensões dos autoespaços é:
Logo, é sim diagonalizável. Verdadeira.
Passo 3
“ é invertível”
Já vimos no Passo que a dimensão do núcleo de fato é . Como e , a é invertível. Verdadeira.
Passo 4
“ e são autovalores de ”
Como analisamos no Passo 2, os autovalores de são e . Essa é a falsa.
Resposta
Letra