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Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Enunciado

A5 T6 A1 T8

Seja P 3 o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3 . Seja L : P 3 → P 3 a transformação linear dada por L p x = p ' ' x + x p ' x . Examine quais das afirmações abaixo são verdadeiras. (Sugestão: monte a matriz da transformação na base canônica de P 3 .)

  1. L é diagonalizável;
  2. L é invertível.

( a ) I é falsa e I I é verdadeira

( b ) I é verdadeira e I I é falsa

( c ) Ambas são falsas

( d ) Ambas são verdadeiras

Passo 1

Vamos acatar a sugestão dos caras e achar a matriz dessa T L na base canônica! Definimos um polinômio genérico do P 3 :

p x = a x 3 + b x 2 + c x + d

E aplicamos L nele:

L a x 3 + b x 2 + c x + d = 6 a x + 2 b + x 3 a x 2 + 2 b x + c = 3 a x 3 + 2 b x 2 + 6 a + c x + 2 b

Se escrevermos os polinômios em função da base:

β = x 3 , x 2 , x , 1

Temos que:

L a , b , c , d = 3 a , 2 b , 6 a + c , 2 b

Passando isso pra forma matricial:

L a , b , c , d = 3 0 0 0 0 2 0 0 6 0 1 0 0 2 0 0 a b c d

Bom, já podemos de cara falar que a matriz não é invertível, já que tem uma coluna só de zeros!

Passo 2

Vamos ver agora se ela é diagonalizável:

p x = 3 - λ 0 0 0 0 2 - λ 0 0 6 0 1 - λ 0 0 2 0 0 - λ = 3 - λ 2 - λ 1 - λ - λ

Opa! Temos os autovalores 3 ,   2 ,   1 e 0 ! Como temos quatro autovalores distintos, podemos afirmar que a matriz é diagonalizável! Logo I é verdadeira I I é falsa.

Resposta

Letra b

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.