QUESTÃO EXTRA

Seja uma matriz quadrada, não-nula, e talque .:

1. é simétrica
2. é invertível
3. possui um autovalor positivo

1. Apenas I é verdadeira
2. Todas são falsas
3. Apenas II é falsa
4. Apenas III é verdadeira
5. Apenas II é verdadeira
6. Todas são verdadeiras
7. Apenas I é falsa

Show de bolinhas galera, esse produto interno ser igual á , pode implicar em coisas saca só:

1. O vetor é igual ao vetor nulo, . Dessa forma pode ser qualquer matriz que a igualdade seria verdadeira.
2. O vetor é um autovetor associado ao autovalor , tal que:

Dessa forma a matriz poderia possuir o autovalor , que a igualdade seria verdadeira.

3. A matriz rotaciona o vetor da sua posição inicial, fazendo com que e agora sejam ortogonais, e o produto interno entre vetores ortogonais sempre resulta em . Logo pode ser uma matriz rotação, e o detalhe importante é que matrizes rotações permitem a existência de autovalores complexos, do conjunto dos Imaginários. Dessa forma também é possível.

Iradoso galera, então quer dizer que não podemos afirmar quem é a matriz , mas conseguimos descobrir algumas possibilidades para seus autovalores, isto é, sabemos que pode possuir o autovalor , e também pode possuir autovalores complexos.

Belejóia, agora que a gente virou o mestre das probabilidades, podemos analisar as afirmativas, saca só:

Na afirmativa (I), ele jura com todas as forças, que é uma matriz simétrica. MAAAASSS matrizes simétricas SEMPRE são diagonalizáveis, tal que para diagonalizar uma matriz precisamos estritamente que ela tenha autovalores reais. Só que vimos no Passo 2, que existe a possibilidade da nossa matriz ser uma rotação, o que possibilitaria a existência de autovalores complexos, e nesse caso nossa matriz não seria diagonalizável fazendo também com que nossa matriz não seja simétrica. Portanto, como não podemos afirmar que ela é simétrica, nossa afirmativa (I) é falsa.

Agora na afirmativa (II), ele tá convicto que a matriz é invertível. E para inverter uma matriz, precisamos garantir que a dimensão do núcleo de é igual a :

Só que no nosso Passo 2, vimos que existe a possibilidade da matriz possuir o autovalor . E se isso acontecer vamos ter que:

Onde é o autovetor associado a , logo esse autovetor vai estar no núcleo de , fazendo com que:

Portanto, também não podemos garantir que a matriz é invertível. Fazendo da nossa afirmativa (II) falsa também.

E agora na (III), cansado de mentir pra gente, ele diz que possui um autovalor positivo. Maaas a gente viu que podemos ter o autovalor , ou também podemos ter autovalores complexos. Isso quer dizer que podemos muito bem, ter apenas o autovalor acompanhado de outros autovalores negativos, como podemos também ter os autovalores complexos acompanhados somente de autovalores negativos. Ou seja, ão existe nada que garante a existência de autovalores positivos na matriz , então por último mas não menos mentirosa, nossa afirmativa (III) é falsa!!!

Portanto, todas nossas afirmativas são falsas. Resposta certa, letra (b).