UFES. Álgebra Linear. Prova: P2 Manhã. 2017.2. Questão: 4.
Considere a matriz . Determine se é diagonalizável, e caso seja ache a diagonalização de .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Questões de diagonalização de matrizes costumam ser bastante trabalhosas, mas nada que seja de outro mundo que não podemos ficar craques.
A definição de uma matriz diagonalizável é dada como: Uma matriz é diagonalizável se existir uma matriz inversa e uma matriz diagonal , tal que .
A matriz podemos encontrar a partir dos autovalores de , onde
Para encontrar os autovalores, vamos usar a formulinha , escrevendo em matrizes temos
Calculando
Resolvendo o determinante da matriz e igualando a temos:
Ou seja, encontramos os autovalores como
Nossa matriz será
Passo 2
Já a matriz pode ser encontrada calculando os autovetores de , onde
Cada autovetor corresponde a uma coluna da matriz .
Para encontrar os autovetores de vamos usar a formulinha
Vamos calcular substituindo os valores de que encontramos anteriormente.
Bora lá!
Para
Escalonando a matriz , temos
Escrevendo essa equação em um sistema de equações
Por fim, já que no lado direito da igualdade temos apenas e , vamos calcular esse sistema quando , e depois quando , e assim vamos obter e .
Agora pra
Ou seja, encontramos dois autovetores de .
e
Passo 3
Para vamos substituir
Escalonando a matriz chegamos no resultado
Escrevendo o resultado em um sistema de equações, temos
Neste caso, temos apenas uma solução, já que no lado direito da igualdade só existe uma variável, ou seja, se , será
Com isso, conseguimos nossa matriz como descrevemos anteriormente.
Passo 4
Para fechar com chave de ouro, vamos calcular , pra isso podemos usar a formulinha ou
Escalonando de tal forma que o lado esquerdo se transforme em uma matriz identidade, o lado direito será o resultado de
E finalmente encontramos , como dito anteriormente, o lado direito é o que procuramos, ou seja
Passo 5
Voltando lá no início, onde dizemos que , finalmente podemos escrever essa equação como
Portanto, essa é a diagonalização de ! É lindo, não é?
É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍