USP – Álgebra Linear 2 – P2 - 2017
Q3. Seja e considere o operador linear tal que
Em que can denota a base canônica de . Temos que será diagonalizável se, e somente se:
a)
b)
c)
d) ;
e) .
Passo 1
Falaaa... beleza???
Nessa questão vamos achar pra quais valores de o operador linear é diagonalizável.
Pra isso vamos precisar lembrar do teorema que diz que é diagonalizável se, e somente se:
i) o polinômio característico de possui todas as suas raízes reais;
ii) a multiplicidade algébrica de cada autovalor de é igual a sua multiplicidade geométrica.
Passo 2
Para achar o polinômio característico fazemos:
Passo 3
Daí vem o pulo do gato pra resolver a questão...
O item ii) do teorema nos diz que queremos ter todos os autovalores diferentes.
Olhando pro polinômio característico já temos um autovalor meio que fácil de calcular que é quando e o autovalor será .
Para os outros dois autovalores queremos valores diferentes de 1, então .
E como é uma equação do segundo grau
podemos analisar o Delta. Pra ter valores diferentes, então .
Juntando com o item i) do teorema, só queremos os valores reais, então .
Letra d)
Resposta
d