Seja um operador linear que tem e como autovalores e tal que os autoespaços correspondentes são e .
é diagonalizável? Em caso afirmativo, encontre uma base de formada por autovetores de . Justifique.
Dado , determine
Passo 1
Temos que é um plano, logo tem dimensão , enquanto é uma reta, portanto possui dimensão .
Temos que a soma da dimensão dos autoespaços é igual a dimensão do domínio de , logo, é diagonalizável.
Para encontrarmos a base de autovetores, basta encontrarmos uma base para e :
Para :
Uma possível base é:
Para :
Uma possível base é:
Juntando as duas chegamos à base de autovetores:
Passo 2
Sabendo os autovetores e autovalores da , podemos diagonalizá-la:
Calculando a inversa:
Substituindo a inversa:
Então:
Resposta
Sim. .