Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Diagonalização

Ver Teoria
Exercício 32123456789101112131415161718192021222324252627282930313334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091

Enunciado

A5 T6

Seja T : R 3 → R 3 um operador linear que tem 2 e 3 como autovalores e tal que os autoespaços correspondentes são V 2 = x , y , z : x + y + z = 0 e V 3 = x , x , - x : x ∈ R .

a T é diagonalizável? Em caso afirmativo, encontre uma base de R 3 formada por autovetores de T . Justifique.

b Dado x , y , z ∈ R 3 , determine T x , y , z

Passo 1

a Temos que V 2 é um plano, logo tem dimensão 2 , enquanto V 3 é uma reta, portanto possui dimensão 1 .

Temos que a soma da dimensão dos autoespaços é igual a dimensão do domínio de T , logo, T é diagonalizável.

Para encontrarmos a base de autovetores, basta encontrarmos uma base para V 2 e V 3 :

Para V 2 :

x + y + z = 0

z = - x - y

x , y , - x - y

x 1,0 , - 1 + y 0,1 , - 1

Uma possível base é:

α = 1,0 , - 1 , 0,1 , - 1

Para V 3 :

x , x , - x

x 1,1 , - 1

Uma possível base é:

γ = 1,1 , - 1

Juntando as duas chegamos à base de autovetores:

β = 1,0 , - 1 , 0,1 , - 1 , 1,1 , - 1

Passo 2

b Sabendo os autovetores e autovalores da T L , podemos diagonalizá-la:

T = 1 0 1 0 1 1 - 1 - 1 - 1 2 0 0 0 2 0 0 0 3 1 0 1 0 1 1 - 1 - 1 - 1 - 1

Calculando a inversa:

1 0 1 0 1 1 - 1 - 1 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → L 3 ← L 3 + L 1 1 0 1 0 1 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 → L 3 ← L 3 + L 2 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 → L 2 ← L 2 - L 3 L 1 ← L 1 - L 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 - 1 - 1 - 1 0 - 1 1 1 1

Substituindo a inversa:

T = 1 0 1 0 1 1 - 1 - 1 - 1 2 0 0 0 2 0 0 0 3 0 - 1 - 1 - 1 0 - 1 1 1 1

T = 2 0 3 0 2 3 - 2 - 2 - 3 0 - 1 - 1 - 1 0 - 1 1 1 1

T = 3 1 1 1 3 1 - 1 - 1 1

Então:

T x , y , z = 3 1 1 1 3 1 - 1 - 1 1 x y z = 3 x + y + z x + 3 y + z - x - y + z

T x , y , z = 3 x + y + z , x + 3 y + z , - x - y + z

Resposta

a Sim. β = 1,0 , - 1 , 0,1 , - 1 , 1,1 , - 1 .

b T x , y , z = 3 x + y + z , x + 3 y + z , - x - y + z

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dada a matriz: A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 A é diagonalizável?Encontre seu polinômio minimal.