(I) A matriz cujo polinômio característico é , é diagonalizável.
(II) Se uma matriz tem polinômio característico , então é diagonalizável.
(a) (I) e (II) são falsas.
(b) (I) e (II) são verdadeiras.
(c) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(d) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
Passo 1
Uma matriz é diagonalizável se e só se a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovalor de A é n.
A matriz A da afirmação (I) é uma matriz , então a soma das dimensões dos autoespaços tem que ser igual a 4 pra ela ser diagonalizável.
Os autovalores de A são as raízes do polinômio característico, certo?
E foi dito pra gente que o polinômio característico de A é
Igualando isso a zero, vamos achar os autovalores:
Agora vamos calcular os autoespaços.
Passo 2
Para , aplicando a definição de autovetor:
Vamos ter:
Da primeira e da segunda equação, tiramos que:
E da última:
Então os autovetores vão ser da forma:
E o autoespaço associado a esse autovalor é:
Que tem dimensão 2.
Agora vamos fazer o mesmo processo pra achar o autoespaço associado a .
Vamos ter:
Da primeira equação, temos:
E da segunda:
A única forma de isso ser verdade é se:
O mesmo ocorre na terceira equação, de onde tiramos que:
Então os autovetores vão ser da forma:
E o autoespaço associado a esse autovalor é:
Que tem dimensão 1.
Somando as dimensões dos autoespaços associados aos dois autovalores de A, vamos ter 3, que é diferente de .
Então, a matriz não é diagonalizável e a afirmação é falsa!
Passo 3
A gente poderia seguir o mesmo processo pra ver se a afirmação (II) é verdadeira, mas nesse caso não temos como encontrar os autovetores porque a afirmação trata de uma matriz qualquer.
Mas foi dito que o polinômio característico é:
Então, igualando a zero, encontramos os autovalores:
Como os três autovalores são distintos, essa matriz é diagonalizável e a afirmação (II) é verdadeira.
Cuidado: Toda matriz com autovalores distintos é diagonalizável, mas nem toda matriz diagonalizável tem autovalores distintos!
Então, no caso da afirmação (I), não podemos dizer que a matriz A não é diagonalizável porque ela não tem autovalores distintos, já que essa situação poderia ocorrer e mesmo assim a matriz A poderia ser diagonalizável!
Resposta
(c) (I) é falsa e (II) é verdadeira.