Seja T : R 2 → R 2 uma transformação linear tal que

  • T j = 2 ,   3
  • O vetor i é um autovetor de T e
  • O determinante de T é 4 . Determine:
  1. A matriz T ε   de T na base canônica;
  2. Uma forma diagonal D de T .

Passo 1

Show de bolinhas galera, na letra (a) queremos encontrar a matriz T ε na base canônica. Então vamos supor que essa matriz seja:

T ε = a b c d

Nossa primeira informação diz que:

  • T j = 2 ,   3

Esse vetor j é o vetor canônico que representa o eixo y :

j = 0 ,   1

Logo, temos que:

T 0 1 = 2 3

Só que fazendo essa multiplicação com a matriz que a gente supôs, temos que:

T 0 1 = a b c d 0 1

a b c d 0 1 = b d

Isso quer dizer que esse vetor resultante é exatamente igual a segunda coluna da matriz T ε

T 0 1 = 2 3 = b d

a b c d = a 2 c 3

Passo 2

Passo 3

Iradoso, agora já descobrimos uma coluna da matriz, falta descobrirmos os outros termos. Saca só, a segunda informação que eles deram pra gente, foi que:

  • O vetor i é um autovetor de T
  • E esse vetor i é exatamente o vetor canônico que representa o eixo x :

    i = 1 ,   0

    Logo, se ele é um autovetor da matriz, temos que:

    T 1 0 = λ 1 0

    T 1 0 = λ 0

    E se vetor 0 ,   1 representava a segunda coluna da matriz, o vetor 1 ,   0 vai representar a primeira coluna da matriz, tal que:

    a b c d = a 2 c 3

    a 2 c 3 = λ 2 0 3

    Passo 4

    Belezoca pessoal, tá começando a ficar show de bola. Falta agora a gente descobrir o valor de λ . E nossa terceira e última informação pode nos ajudar nisso, saca só:

  • O determinante de T é 4 .
  • E o determinante de uma matriz qualquer A = a b c d é dado por:

    det ⁡ A = a d - b c

    Logo para nossa matriz T , temos que:

    det ⁡ T = 4

    Só que descobrimos que nossa matriz é:

    T = λ 2 0 3

    Logo:

    det ⁡ T = 3 λ - 2 0

    det ⁡ T = 3 λ

    3 λ = 4

    λ = 4 3

    Maravilhaaa!! Então quer dizer que nossa matriz na base canônica é:

    T ε = a b c d

    T ε = 4 / 3 2 0 3

    Passo 5

    Já na letra (b), para escrever esses vetores na forma da matriz diagonal D , precisamos encontrar os autovalores λ 1 e λ 2 da matriz, tal que:

    D = λ 1 0 0 λ 2

    Só que por sorte, nossa matriz T na base canônica, é uma matriz triangular superior, portanto os autovalores serão os elementos da diagonal principal, então temos que:

    λ 1 = 4 3 ,     λ 2 = 3

    Portanto as formas diagonais da matriz T , são dadas por:

    4 / 3 0 0 3 ,     3 0 0 4 / 3

    Resposta

    1. T ε = 4 / 3 2 0 3
    2. 4 / 3 0 0 3 ,     3 0 0 4 / 3

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