PUCRIO, G3-2019.2
Seja uma transformação linear tal que
- O vetor é um autovetor de e
- O determinante de é . Determine:
- A matriz de na base canônica;
- Uma forma diagonal de .
Passo 1
Show de bolinhas galera, na letra (a) queremos encontrar a matriz na base canônica. Então vamos supor que essa matriz seja:
Nossa primeira informação diz que:
Esse vetor é o vetor canônico que representa o eixo :
Logo, temos que:
Só que fazendo essa multiplicação com a matriz que a gente supôs, temos que:
Isso quer dizer que esse vetor resultante é exatamente igual a segunda coluna da matriz
Passo 2
Passo 3
Iradoso, agora já descobrimos uma coluna da matriz, falta descobrirmos os outros termos. Saca só, a segunda informação que eles deram pra gente, foi que:
E esse vetor é exatamente o vetor canônico que representa o eixo :
Logo, se ele é um autovetor da matriz, temos que:
E se vetor representava a segunda coluna da matriz, o vetor vai representar a primeira coluna da matriz, tal que:
Passo 4
Belezoca pessoal, tá começando a ficar show de bola. Falta agora a gente descobrir o valor de . E nossa terceira e última informação pode nos ajudar nisso, saca só:
E o determinante de uma matriz qualquer é dado por:
Logo para nossa matriz , temos que:
Só que descobrimos que nossa matriz é:
Logo:
Maravilhaaa!! Então quer dizer que nossa matriz na base canônica é:
Passo 5
Já na letra (b), para escrever esses vetores na forma da matriz diagonal , precisamos encontrar os autovalores e da matriz, tal que:
Só que por sorte, nossa matriz na base canônica, é uma matriz triangular superior, portanto os autovalores serão os elementos da diagonal principal, então temos que:
Portanto as formas diagonais da matriz , são dadas por: