A5 T6 T3 A2 T16 T14
A transformação linear realiza a projeção ortogonal dos vetores de no plano , seguida da multiplicação por . Então é FALSO afirmar que:
O posto de é igual a
não é invertível
é diagonalizável
e são autovalores de
Passo 1
Vamos analisar letra por letra:
Letra
é uma transformação que projeta os vetores sobre um plano e depois duplica eles. Logo, seu núcleo é a reta ortogonal ao plano (que é levada no ).
Como a transformação acontece no e o núcleo tem dimensão , pelo a dimensão da imagem (posto da ) é . Verdadeira.
Letra
Para ser invertível ela precisa ser injetiva. Mas sabemos que o núcleo dela é uma reta, logo ela não é injetiva e também não é invertível. Verdadeira.
Letra
Bom, a primeiro projeta tudo em um plano. Então tem autovalor associado à reta ortogonal ao plano e autovalor associado ao plano.
Em seguida, ela duplica todos os vetores. Os que eram paralelos ao plano continuam no pois .
Os que não eram paralelos nem estavam no plano foram projetados e depois duplicados então sua direção foi alterada.
Os que estavam no plano ficaram inalterados depois da projeção e em seguida foram duplicados! Ou seja, tiveram sua direção preservada e ainda foram multiplicados por .
Logo, temos uma reta associada ao autovalor e um plano associado ao autovalor . A soma da dimensão dos autoespaços é igual à dimensão do domínio da transformação , então, ela é diagonalizável. Verdadeira.
Letra
Na letra vimos que os autovalores são e e não e . Essa é falsa.
Resposta
Letra