UFRJ, Álgebra Linear, P4 – 2017.2, Questão 1
É dado que o conjunto dos autovalores da matriz é Então:
(a) não é diagonalizável
(b) é uma reflexão ortogonal
(c) é uma reflexão não ortogonal
(d) é uma projeção
Passo 1
Bom, a letra d) já conseguimos eliminar só de olhar os autovalores, isso porque os autovalores de uma projeção são
Agora vamos achar esses autoespaços:
Vamos passar para a forma escalonada e resolver esse sistema:
Voltando para a forma de equações:
Logo, nosso autoespaço associado a é .
Agora vamos achar do
Vamos passar para a forma escalonada e resolver esse sistema:
Logo, nosso autoespaço associado a é .
Passo 2
Beleza, agora vamos analisar o que temos...
Olhando as alternativas, na primeira, já fala que essa matriz não é diagonalizável. Para ser diagonalizável, deve existir uma base do domínio formada por autovetores. Mas, juntando os autovetores, não vamos ter uma base do pois só teremos 2 vetores na base.
Logo essa matriz não é diagonalizável e a primeira alternativa está correta!
Passo 3
Mas porque a letra b) está errada?
Bom, porque por mais que os autovalores da matriz sejam iguais aos de uma reflexão ortogonal, o autovalor 1 deveria ser associado ao espaço em que estamos refletindo, que no caso seria o gerado por ou seja, uma reta. E o autovalor deveria ser associado ao complemento ortogonal dessa reta, o plano ortogonal a ela, mas vemos que esta associado a outra reta! Logo não pode ser uma reflexão.
Resposta
Letra