PUCRIO, G3-2019.2
Considere a transformação linear cuja matriz na base canônica é:
- Determine os autovalores de .
- Determine se é diagonalizável. Em caso afirmativo, determine uma forma diagonal de . Em caso negativo, explique porque não é diagonalizável.
Passo 1
Show de bolinhas galera, na letra (a) queremos encontrar os autovalores da matriz:
E pra isso a gente deveria escrever o polinômio característicos e todas aquelas coisas complicadas, MAAASSSS aqui a gente pode ser malandro, e em vez de fazer o polinômio característico cheio de números decimais, podemos usar 2 bizus super master matadores PRA ESSE TIPO DE QUESTÃO.
O primeiro é que sempre, SEMPRE, SEMPRE que a soma de cada coluna, ou a soma de cada linha, de uma matriz der o mesmo resultado então esse resultado é um autovalor
Saca só, na nossa matriz , se a gente somar os elementos de cada coluna, vamos ter que:
E por pura coincidência do universo, o resultado das duas foi igual a , sempre que isso acontece, o nosso número é um autovalor, nesse caso descobrimos que nossa matriz possui o autovalor .
**Detalhe importante é que não precisa ser a soma de cada coluna & a soma de cada linha iguais necessariamente ao mesmo tempo, poderia ser a soma das linhas ou a soma das colunas, independentes uma da outra, que já bastaria pra ser um autovalor (como no nosso caso, bastou somente a soma das colunas).
Passo 2
Belezoca, agora que a gente descobriu um autovalor, falta descobrir os outros. E aqui a gente pode perceber que as linhas da matriz são linearmente dependentes, e isso faz com que nossa matriz tenho a dimensão do núcleo diferente de . E a sagacidade disso é que os vetores do núcleo de qualquer matriz, sempre vai ser um autovetor associado ao autovalor , isso quer dizer que sempre que a gente tiver uma matriz em que o núcleo tenha dimensão diferente de , podemos garantir que ela tem o autovalor . Iradosoooo!!! Agora a gente descobriu DOIS autovalores, falta saber se existe um terceiro, ou se algum desses dois se repetem.
E aqui vai o segundo bizu mais bizurado da álgebra, que é que:
A soma da diagonal principal é igual à soma dos autovalores
Saca só, como a matriz é , vamos possuir três autovalores, que podem ser distintos ou não, vamos chamá-los de e . Logo a soma dos autovalores é:
Já para nossa matriz , a soma da diagonal principal é:
Logo, pelo nosso bizu master de todos os tempos, temos que:
E a gente acabou de descobrir que um autovalor vale e o outro vale , logo:
Isso quer dizer que o autovalor se repete duas vezes. Portanto nossos autovalores são:
Passo 3
Belezoca pessoal, descobrimos que temos autovalores reais. E como estamos em , ou seja, um espaço de dimensão , isso nos garante que nossa transformação é diagonalizável. E para escrever na forma diagonal, devemos decompor a matriz na forma:
Onde é uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos autovalores de :
Enquanto , é a matriz onde as colunas são os respectivos autovetores de :
Então precisamos encontrar esses autovetores!!!
Saca só, para o primeiro autovalor, temos , logo:
Então escalonando o sistema, temos:
Logo, da segunda linha, temos que:
E na primeira linha, temos:
Portanto, o autovetor é dado por:
Passo 4
Irado, agora para o outro autovalor , temos:
Então se a gente escalonar essa matriz, vamos obter:
Logo, da primeira linha, tiramos que:
Logo a solução é dada por:
Portanto os autovetores associados são:
Belejóia, então nossa matriz é:
Passo 5
Então agora só resta a gente encontrar , e pra isso a gente pode aplicar o algoritmo do escalonamento com a matriz identidade lado a lado, desse jeito:
Agora a gente faz operações na matriz da esquerda até ela se transformar na identidade, saca só:
Portanto a matriz inversa é dada por:
E dessa forma, nossa decomposição, fica assim: