A5 T1 T6
A dimensão do núcleo de é e seu polinômio característico é . Assinale a alternativa VERDADEIRA:
A dimensão do autoespaço associado ao autovalor é igual a
A matriz é diagonalizável.
A dimensão do autoespaço associado ao autovalor é igual a
Passo 1
O que é o núcleo de galera? É simplesmente um jeito difícil de se falar do autoespaço associado ao autovalor ! Para acharmos um autoespaço nós substituímos o que queremos e resolvemos o sistema homogêneo:
Então o autoespaço associado ao autovalor é o núcleo de ! Beleza, ele diz que a dimensão desse núcleo é . Logo, nosso autovalor tem multiplicidade geométrica igual a ! Vamos guardar essa informação:
Passo 2
Depois ele dá o polinômio característico de , que é . Dele, a gente pode tirar a multiplicidade algébrica dos autovalores! No caso temos:
Passo 3
Tiramos tudo o que dava pra tirar do enunciado, então vamos analisar as afirmativas:
“A dimensão do autoespaço associado ao autovalor é igual a ”
Vimos lá no Passo que ela vale . Então essa é falsa.
“A matriz é diagonalizável.”
Para uma matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica tem de ser igual à algébrica para todos os seus autovalores. Como temos o autovalor com e , ela não é diagonalizável. Então é falsa.
“”
Lembra que o pode ser calculado pelo produto dos autovalores de ? Então não só sabemos que ele é diferente de como sabemos que ele vale:
Essa é falsa.
“A dimensão do autoespaço associado ao autovalor é igual a ”
Desde o Passo 1 já sabíamos que essa era a certa haha, olhei as outras só pra praticar os conceitos mesmo! Essa é a verdadeira.
Resposta
Letra