Dada a matriz encontre uma matriz ortogonal P tal que é diagonal.
Passo 1
Queremos achar uma matriz P ortogonal e D diagonal satisfazendo:
Sabemos que D é uma matriz diagonal com autovalores na diagonal principal e a matriz P é uma matriz com os autovetores ortonormais nas colunas.
Vamos então achar os autovalores e autovetores dessa matriz.
Passo 2
Para achar os autovalores, usamos que:
Agora resolvemos o sistema homogêneo para cada valor de encontrado para acharmos os autoespaços.
Primeiro, vamos resolver para
Temos então:
Então os autovetores vão ser da forma:
E o autoespaço associado a é:
Agora vamos fazer a mesma coisa para
Temos então:
Então os autovetores vão ser da forma:
E o autoespaço associado a é:
Temos então a base de autovetores .
Note que essa base já é ortogonal, pois os dois vetores são ortogonais entre si (produto interno entre eles é zero).
Para termos uma base ortonormal, esses vetores devem ser unitários.
Então basta dividir cada um deles pelas suas normas, que é
Assim, é base ortonormal de autovetores.
Passo 3
Agora é só montar a matriz P que foi pedida no enunciado, colocando os autovetores que achamos antes nas colunas: