Qual matriz abaixo é diagonalizável (sobre os reais)?
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
Passo 1
(a) 
Essa matriz é triangular superior.
Quando isso acontece, os autovalores são os elementos da diagonal principal.
Então temos e , ou seja, dois autovalores distintos.
Como a matriz é com dois autovalores distintos, ela é diagonalizável.
Essa é a nossa resposta, mas vamos ver por que as outras matrizes não são.
Passo 2
(b) 
Vamos calcular os autovalores dessa matriz:
Esse polinômio não tem raízes reais.
A questão quer que a matriz seja diagonalizável sobre os reais, então essa não seria a resposta.
Passo 3
(c) 
De novo temos uma matriz triangular superior.
Mas dessa vez os autovalores são iguais a , então não necessariamente vai ser diagonalizável. Vamos ter que calcular os autovetores!
Fazendo isso, vamos achar somente o vetor .
Então não temos uma base de autovetores e a matriz não é diagonalizável.
Passo 4
(d) 
De novo vamos calcular os autovalores.
Esse cara também não tem raízes reais!
Como a questão quer que seja diagonalizável sobre os reais, não poderíamos marcar esse.
Resposta
(a) 