Considere a matriz

(a) Determine os autovalores de M.

(b) Determine uma base de autovetores de M.

(c) Diagonalize ortogonalmente M, ou seja, encontre matrizes P ortogonal e D diagonal tais que

(b) Para achar os autovetores de M, resolvemos o sistema linear:

para cada autovalor que encontramos no item (a).

Vamos começar com

Nesse caso, o sistema fica:

Sendo , temos uma única equação:

Então:

E os vetores vão ser:

Fazendo e , achamos o autovetor e fazendo e achamos o autovetor

Mas qualquer outra combinação linear entre esses dois caras também é autovetor, beleza?

Agora vamos resolver o sistema para :

Escalonando:

Sendo ficamos com um sistema com duas equações:

Da segunda equação, tiramos que:

Substituindo na primeira:

Então os vetores nesse caso vão ser:

Fixando , achamos um terceiro autovetor possível, que é

E de novo, qualquer múltiplo desse cara também é autovetor.

Então uma base de autovetores é dada por:

(c) Agora precisamos diagonalizar M ortogonalmente, ou seja, escrever M na forma:

onde P é uma matriz com autovetores ortonormais nas colunas e D é uma matriz diagonal com autovalores na diagonal principal.

Na letra (b), achamos uma base de autovetores:

Mas essa base não é uma base ortonormal (os autovetores não tem norma 1 e não são ortogonais dois a dois).

Bom, o autovetor é ortogonal aos autovetores e , mas esses dois últimos não são ortogonais entre si.

Vamos então manter os autovetores e na base e buscar um terceiro autovetor que seja ortogonal a esses dois.

Lembrem que para tínhamos encontrado que os autovetores eram:

Se fizermos e nessa combinação linear, obtemos:

E esse autovetor é ortogonal aos outros dois.

Então uma base ortogonal de autovetores é:

Pra fazer essa base ser ortonormal, basta dividir cada vetor pela sua norma:

Então temos as matrizes: