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Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Enunciado

USP Álgebra Linear 2 P3 2016

Sejam 𝐴   ∈   𝑀 6 𝑅 uma matriz real e 𝑇 : 𝑅 6 → 𝑅 6 o operador linear tal que 𝑇 𝑐 𝑎 𝑛 = 𝐴 , em que 𝑐 𝑎 𝑛   denota a base canônica de 𝑅 6 . Se o polinômio característico de 𝑇   for:

𝑝 𝑇 𝑡   =   𝑡 2   +   𝑡   +   1 𝑡 − 2 2 𝑡 + 1 𝑡

então poderemos afirmar que:

(a) 𝐴   será diagonalizável sobre R, mas não será diagonalizável sobre C

(b) 𝐴   não será diagonalizável sobre C e 𝐴   será diagonalizável sobre R se, e somente se, existirem vetores linearmente independentes 𝑣   e   𝑤 em 𝑅 6 tais que 𝑇 𝑣 =   2 𝑣   𝑒   𝑇 𝑤 =   2 𝑤

(c) 𝐴   não será diagonalizável nem sobre R, nem sobre C

(d) 𝐴   não será diagonalizável sobre R e 𝐴   será diagonalizável sobre C se, e somente se, existirem vetores linearmente independentes 𝑣   e   𝑤 em 𝑅 6 tais que 𝑇 𝑣 =   2 𝑣   𝑒   𝑇 𝑤 =   2 𝑤

(e) 𝐴   será diagonalizável sobre C, mas não será diagonalizável sobre R.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bem bacana pois trabalha com as condições necessárias para podermos diagonalizar uma matriz.

Antes de mais nada, vamos revisar as informações passadas no enunciado.

Temos uma matriz 𝐴   ∈   𝑀 6 𝑅 e um operador linear 𝑇   tal que 𝑇 𝑐 𝑎 𝑛 = 𝐴 . E nos é informado o polinômio característico de 𝑇   , que é:

𝑝 𝑇 𝑡   =   𝑡 2   +   𝑡   +   1 𝑡 − 2 2 𝑡 + 1 𝑡

Nosso objetivo é verificar se 𝐴   é diagonalizável sobre os reais ou sobre os complexos

Passo 2

Como queremos verificar se essa matriz será diagonalizável, vamos relembrar as condições necessárias para podermos diagonalizar uma matriz. Vocês lembram dela? Bora revisar!!!

Para uma matriz 𝐴   ser diagonalizável precisamos que:

Os autovalores de 𝐴   estejam no mesmo conjunto numérico que as entradas de 𝐴   . Isto é,

  • se 𝐴   tem as entradas definidas nos reais, seus autovalores não podem ser complexos, eles tem que ser reais.

  • A dimensão dos autoespaços precisa ser igual a multiplicidade algébrica do autovalor. Eita, o que isso quer dizer?

A última condição diz que se um autovalor tem multiplicidade 𝑛   (número de vezes que aquele autovalor é raiz do polinômio característico) então os autovetores associados a esse autovalor precisam gerar um espaço de dimensão 𝑛   , que é equivalente a termos 𝑛   autovetores associados LI.

Relembraram? Então agora podemos verificar se nossa matriz 𝐴   é diagonalizável!!

Passo 3

Seguindo as condições necessárias para a diagonalização que revisamos no passo 2. Vamos começar calculando os autovalores de 𝐴   e suas respectivas multiplicidades algébricas.

Por definição, os autovalores são as raízes do polinômio característico. No nosso caso, o polinômio é:

𝑝 𝑇 𝑡   =   𝑡 2   +   𝑡   +   1 𝑡 − 2 2 𝑡 + 1 𝑡

Cujas raízes são:

2  

Com multiplicidade algébrica 2  

1  

Com multiplicidade algébrica 1  

0  

Com multiplicidade algébrica 1  

− 1   + 3 ⋅ 𝑖 2

Com multiplicidade algébrica 1  

− 1 − 3 ⋅ 𝑖 2

Com multiplicidade algébrica 1  

Então temos autovalores complexos. Logo 𝐴   não é diagonalizável sobre ℝ  

.

Passo 4

No passo anterior, vimos que 𝐴   não será diagonalizável sobre ℝ   , pois tem autovalores complexos. Mas será que 𝐴   é diagonalizável sobre ℂ   ?

Bem, já vimos que seus autovalores são complexos. Então temos que ter a dimensão dos autoespaços iguais à multiplicidade algébrica do autovalor associado.

Nosso único autovalor com multiplicidade algébrica diferente de 1   é o autovalor 2   . Então para podermos diagonalizar 𝐴   o autoespaço gerado pelo autovalor 2   precisa ter dimensão 2   . Como isso ocorre? Olhando lá no passo 2, isso ocorre se existirem 2   vetores LI associados ao autovalor 2   .

Então, se esses vetores existem, 𝐴   será diagonalizável em ℂ  

E com isso chegamos ao fim de mais uma questão de algelin 😊. Essa é uma questão bem teórica, é ótima para revisar os conceitos da matéria. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

d)

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Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
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