USP, Álgebra Linear 2, 2020.1, P2, Q2
Sejam o operador linear cuja matriz relativamente à base canônica de é , em que são números reais que satisfazem . Então,
Escolha uma opção:
- é diagonalizável se ;
- é diagonalizável se ;
- é diagonalizável se ;
- não é diagonalizável;
- é diagonalizável se ;
Passo 1
Faaala, molecada boa! Bem, a princípio, uma matriz diagonalizável é a quadrada que podemos escrever como:
Onde as colunas de são os autovetores e é matriz diagonal com os elementos dados pelos autovalores de . Se é de ordem basta que exista uma base de autovetores para para garantir que é diagonalizável.
E O QUE QUE EU FAÇO? Bem, vamos tentar achar os autovalores primeiro, dados por:
Como , temos (teorema) que os autovetores de são L.I. com o de . Avaliemos os de .
Passo 2
Um autovetor relativo a , é tal que: o que resulta no sistema:
Assim, para , temos:
Como , temos: . De forma que se , temos e livres e podemos tomar: e autovetores entre si e L.I. com o autovetor de . Dessa forma, a matriz é diagonalizável se .
Resposta
é diagonalizável se ;