Seja a matriz associada a uma transformação linear T. Para quais valores de a T é diagonalizável?
Passo 1
Vamos começar calculando os autovalores de A.
Para isso, precisamos encontrar as raízes do polinômio característico, que é:
Vamos então encontrar a matriz A:
Calculando o determinante dessa matriz e igualando a zero, vamos ter:
Logo, temos um único autovalor:
Agora vamos aplicar a definição de autovetor para encontrar os autovetores de A.
Se é autovetor associado ao autovalor , então:
Temos o sistema:
Da primeira equação, tiramos que:
Então os autovetores são:
E o autoespaço é:
Como a matriz é e:
Ela não é diagonalizável!
Não esquece que uma matriz é diagonalizável somente se a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovetor de A é n.
Repara que em nenhum momento precisamos colocar restrições para o valor de a.
Qualquer que seja a, o resultado vai ser o mesmo.
Então, não existem valores de a que a tornem diagonalizável.
Resposta
A não é diagonalizável para nenhum valor de a.