USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P2 - 2017, Questão 16
Sejam um inteiro e . Considere as seguintes afirmações:
1- se a matriz for diagonalizável, então a transposta da matriz também será diagonalizável;
2- se o polinômio caracterıstico de tiver raízes reais distintas, então a matriz será diagonalizável;
3- se a matriz for inversível é diagonalizável, então a matriz também será diagonalizável.
Assinale a alternativa correta:
- apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;
- apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
- apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira;
- todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
- apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras.
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa envolve a teoria de diagonalização de matrizes. Vamos revisar esse conceito.
é diagonalizável se pode ser escrita da forma
Onde é uma matriz diagonal formada pelos autovalores de e a matriz onde as colunas são os autovetores de , onde os autovetores precisam estar na mesma ordem dos seus respectivos autovalores em .
Além disso, existem algumas condições para que nossa matriz seja diagonalizável. Mas a mais geral diz que:
A dimensão do auto espaço associado ao autovalor tem que ser igual a multiplicidade algébrica do valor. Ou seja, se temos autovalores repetidos, digamos, iguais a , então a dimensão gerada pelos autovetores associados a esse autovalor tem que ser . Show? Vamos resolver a questão!!!
Passo 2
Começando pela primeira afirmação ela diz que se a matriz for diagonalizável, então a transposta da matriz também será diagonalizável.
Bem, se é diagonalizável, então
Logo,
Logo é diagonalizável.
Passo 3
Vamos para a afirmação . Se o polinômio caracterıstico de tiver raízes reais distintas, então a matriz será diagonalizável. Bem se o polinômio característico tem raízes distintas. Então teremos autovetores distintos. Ou seja, a dimensão do auto espaço associado ao autovalor é igual a multiplicidade algébrica do valor. Logo será diagonalizável.
Afirmação verdadeira
Para finalizar. Vamos para a terceira afirmação. Que diz que se a matriz for inversível é diagonalizável, então a matriz também será diagonalizável. Bem, sabemos que
pois é diagonalizável. Defina .
Dessa forma, temos que
e
Ou seja, é a inversa de , e é diagonalizável. Logo a afirmação é verdadeira.
Com isso chegamos a conclusão que todas as afirmações são verdadeiras
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊
Resposta
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