USP Álgebra Linear 2 P3 2016
Considere as seguintes afirmações:
(I) se for um espaço vetorial complexo de dimensão finita,for um operador linear e for um autovalor de , então o conjugado de também será um autovalor de ;
(II) se uma matriz real for diagonalizável sobre , então ela também será diagonalizável sobre
(III) se uma matriz real for diagonalizável sobre , então ela também será diagonalizável sobre
Quais afirmações são verdadeiras?
- Apenas a afirmação (II) é verdadeira;
- Apenas a afirmação (III) é verdadeira;
- Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras;
- Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
- Apenas a afirmação (I) é verdadeira;
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bem bacana pois trabalha com as condições necessárias para diagonalizar uma matriz.
Nosso objetivo é verificar quais das afirmações são verdadeiras.
Passo 2
Como de costume vamos começar pela primeira afirmação. Ela diz o seguinte:
Se for um espaço vetorial complexo de dimensão finita, for um operador linear e
for um autovalor de , então o conjugado de também será um autovalor de . E aí será que é verdade? O que vocês acham?
Bem vamos relembrar de onde vem os autovalores de um operador linear. Por definição, os autovalores são as raízes do polinômio característico. Esse polinômio é:
Mas espera a e, os autovalores são as RAÍZES do polinômio característico. Logo se for raiz, então também será.
Com isso, temos que a primeira afirmação é verdadeira.
Passo 3
Vamos verificar a segunda afirmação. Ela diz que: se uma matriz real for diagonalizável sobre C, então ela também será diagonalizável sobre R.
Será que é verdade? Vamos pensar!
Se a matriz é diagonalizável nos complexos, então seus autovalores também estão nos complexos, certo? Logo, se qualquer um desses autovalores não for um número real, então a matriz não poderá ser digitalizada nos Reais. Ou seja, nem toda matriz diagonalizável sobre os complexos é diagonalizável sobre os Reais.
Então a segunda afirmação é falsa.
Passo 4
Passo 5
Por fim, vamos verificar a terceira afirmação. A afirmação diz o seguinte:
Se uma matriz real for diagonalizável sobre R, então ela também será diagonalizável sobre C.
Bem, o que podemos falar sobre os autovalores de ? Como estamos supondo que é diagonalizável nos Reais, então seus autovalores também são Reais, beleza? Mas será que isso é suficiente para ser diagonalizável nos complexos? O que vocês acham?
O que podemos falar dos autovetores de ? Como é diagonalizável, então seus autovetores formam uma base para o espaço, show? Mas qual espaço? Nesse caso, para os Reais. Então
não será diagonalizável nos complexos, pois seus autovetores NÃO formam uma base para os complexos.
E com isso chegamos ao fim de mais uma questão de algelin 😊. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!