UFRJ, P3-2019.1
Seja uma matriz não invertível que satisfaz , então:
- é diagonalizável.
- é ortogonal.
- é diagonal.
- é simétrica.
Passo 1
Show de bolinhas galerinha, esse exercício aqui é pura maldade, saca só. Ele diz que:
E aí já começa a malicia, porque o vetor resultante é o dobro do vetor inicial , tal que:
Isso quer dizer que o vetor é um autovetor associado ao autovalor .
Passo 2
Iradoso, então já descobrimos que nossa matriz possui pelo menos um autovalor. E é ai que vem o golpe fatal, porque o enunciado disse que nossa matriz é NÃO INVERTÍVEL, e toda matriz que não é invertível SEMPRE vai possuir o autovalor . Dessa forma, podemos garantir que nossa matriz possui o autovalor:
Ou seja, nossa matriz possui autovalores distintos, e para diagonalizar uma matriz usamos a decomposição espectral:
Onde é matriz com os autovetores nas colunas, e é a matriz com os autovalores na diagonal principal. Como podemos garantir a existência dos dois autovalores necessários para diagonalizar, então podemos garantir que nossa matriz é diagonalizável.
Resposta
Letra (a).