Suponha, por simplicidade, que todo brasileiro ou vive no Brasil ou vive na Europa. Todo ano, dos brasileiros que vivem no Brasil emigram para a Europa, e dos brasileiros que vivem na Europa imigram de volta para o Brasil. Qual será a percentagem aproximada do conjunto total de brasileiros que, em dez anos, estarão vivendo na Europa?

1. .
2. .
3. .
4. .

Saca só, aqui a gente pode usar de toda malicia que a Algebra nos permite. Vamos supor que aconteceu alguma coisa muito ruim no Brasil, e que dos brasileiros morassem na Europa. Nesse caso, teriamos:

O número significa que todos os brasileiros estão morando na Europa, . E em consequência disso o quer dizer que não existe ninguém morando no Brasil, . Então se a gente aplicasse a Matriz Ano Seguinte, sabemos que dos brasileiros que moram na Europa, voltariam para o Brasil, isto é:

Onde representa os de brasileiros que ainda ficaram na Europa, o representa os que voltaram.

Show, agora vamos fazer o contrário e supor que todos os brasileiros moram de fato no Brasil, do total. Logo:

E agora quando a gente aplica a Matriz Ano Seguinte, temos que dos brasileiros que moram no Brasil se mudam para a Europa, então a representação em matriz fica assim:

Onde o representa os de brasileiros que se mudaram para a Europa, enquanto o representa os dos brasileiros que ainda continuaram no Brasil. Portanto, as informações que a gente conseguiu com isso é:

Juntando um pouquinho essas matrizes, temos :

Isso quer dizer que podemos reescrever essa igualdade como:

E a malandragem aqui é que é a matriz identidade, que é conhecida por ser o elemento neutro da multiplicação entre matrizes, isto é, qualquer matriz multiplicada pela identidade resulta na própria matriz, logo:

Xuxu beleza, tá começando a ficar bonito. Agora que encontramos a Matriz Ano Seguinte, podemos elevar ela a potência de pra ver como a matriz vai se comportar daqui anos. Então queremos:

Mas peraí, porque a gente não precisa fazer essa multiplicação vezes seguidas com essa matriz cheia de números decimais. A gente pode fazer a decomposição espectral para diagonalizar. Essa decomposição espectral é dada por:

Onde é matriz diagonal que possui os autovalores de na diagonal principal, e é a matriz que possui os respectivos autovetores nas colunas, na mesma ordem dos autovalores encontrados em . A gente faz isso quando estamos interessados em elevar a matriz a uma potência razoavelmente difícil de ser feita na mão (como o nosso caso de potência igual ), porque a potência pode ser escrita como:

E uma matriz diagonal é MUITO mais tranquilo de elevar a uma potência.

Legal fera, dito isso, precisamos encontrar esses autovalores. MAAASSSS aqui a gente pode ser malandro mais uma vez, e em vez de fazer o polinômio característico cheio de números decimais, podemos usar dois bizus super master matadores PRA ESSE TIPO DE QUESTÃO.

O primeiro é que sempre, SEMPRE, SEMPRE que a soma de cada coluna, ou a soma de cada linha, de uma matriz der o mesmo resultado então esse resultado é um autovalor

Saca só, na nossa matriz , se a gente somar as colunas, vamos ter que:

E por pura coincidência do universo, o resultado das duas foi igual a , sempre que isso acontece, o nosso número é um autovalor, nesse caso descobrimos que nossa matriz possui o autovalor .

**Detalhe importante é que não precisa ser a soma de cada coluna & a soma de cada linha iguais necessariamente ao mesmo tempo, poderia ser a soma das linhas ou a soma das colunas, independentes uma da outra, que já bastaria pra ser um autovalor (como no nosso caso, bastou somente a soma das colunas).

Belezoca, agora que a gente descobriu um autovalor, falta descobrir o outro. E aqui vai o segundo bizu mais bizurado da álgebra é que:

A soma da diagonal principal é igual à soma dos autovalores

Saca só, como a matriz é , vamos possuir dois autovalores, que podem ser distintos ou não, vamos chamá-los de e . Logo a soma dos autovalores é:

Já para nossa matriz , a soma da diagonal principal é:

Logo, pelo nosso bizu master de todos os tempos, temos que:

E a gente acabou de descobrir que um autovalor vale, logo:

Belezoca, agora que a gente descobriu os autovalores, bora descobrir os autovetores. E pra isso a gente usa a relação:

Onde é o nosso autovetor. Logo para , temos:

Resolvendo a multiplicação, temos que:

Logo, passando o e para o outro lado do igual:

E as duas linhas são exatamente iguais só que com sinais trocados, então:

Então nosso primeiro autovetor é:

Portanto o autovetor associado a é:

Agora para repetimos o processo.

Resolvendo a multiplicação, temos que:

Logo, passando o e para o outro lado do igual:

E novamente as duas linhas são iguais, tal que:

Dessa forma nosso segundo autovetor é:

Portanto nossos dois autovetores são:

Calma que tá acabando galera, finalmente podemos expressar nossa decomposição, ela vai ser do tipo:

Lembrando que é matriz diagonal que possui os autovalores de na diagonal principal, e é matriz que possui os respectivos autovetores nas colunas, na mesma ordem dos autovalores encontrados. Então:

Então nossa decomposição fica assim:

E pra calcular a inversa de uma matriz, podemos usar o algoritmo:

Logo, para nossa matriz , temos que:

Portanto, podemos reescrever novamente nossa decomposição como:

Então para a potência de , vamos ter:

E o mais legal aqui é que a matriz diagonal, tem a propriedade de poder passar o expoente para dentro da diagonal, desse jeito:

Logo:

E agora, só pra não perder o costume da malandragem, podemos lembrar que é igual a mesmo, e o mais sagaz de tudo é que é um número TÃO tão TÃO pequeno que se aproxima muito de , a ponto de podermos substituir por , desse jeito:

Portanto, daqui a anos, nossa Matriz Ano Seguinte, vai se comportar de tal maneira que é representada pela matriz:

Resolvendo essa multiplicação, temos que:

Então se a gente aplicar essa Matriz Ano Seguinte, nas nossas variáveis vamos obter:

Como queremos saber apenas os brasileiros que vivem na Europa, vamos fazer para . Logo:

Então quer dizer . Isto é, a porcentagem de brasileiros que vivem na Europa após anos é igual a , ou melhor, igual a que é o famoso . Dessa forma depois de dias resolvendo essa questão, descobrimos que daqui a anos, dos brasileiros irão viver na Europa.

Resposta certa: alternativa (a), .