PUCRIO, G4-2019.2
Considere a transformação linear cuja matriz na base canônica é
E cujo polinômio característico é
- Determine se existe a matriz inversa de . Em caso afirmativo determine essa matriz. Justifique claramente sua resposta.
- Determine se é diagonalizável. Em caso afirmativo determine uma forma diagonal de . Em caso negativo justifique claramente porque não é diagonalizável.
Passo 1
Belejóia galerinha, pra gente garantir que uma matriz é invertível, precisamos ter certeza que
Ou seja, se nossa matriz for quadrada e a dimensão do seu núcleo for , então nossa matriz é invertível. MAAASSS agora que vem a malandragem, porque nosso enunciado disse que o polinômio característico de é:
Logo as raízes/autovalores do polinômio serão:
Só que quando temos o autovalor na nossa matriz, o autovetor associado a ele sempre vai estar no núcleo de :
Fazendo com que a dimensão do núcleo de seja diferente de :
O que contraria o fato da matriz ser invertível. Portanto não é invertível!
Passo 2
Show de bolinhas, já na letra (b), queremos saber se nossa matriz é diagonalizável. E pra garantir que uma matriz seja diagonalizável, precisamos ter a certeza de que possui uma base de autovetores para , nesse caso, precisamos verificar se possui uma base autovetores para . Sabemos que existem apenas dois autovalores e , onde se repete duas vezes devido ao seu termo ao quadrado , e precisamos de autovetores. Como se repete, ele é o único autovalor que pode ter mais de um autovetor associado, enquanto o autovalor possui apenas um autovetor associado. Então bora testar isso aí e ver quantos autovetores possui:
Dessa forma, obtemos que:
E escalonando o sistema, descobrimos que:
Da segunda linha:
E da primeira linha:
Logo o autoespaço associado ao autovalor é:
Isso quer dizer que possui apenas o autovetor , que somado ao autovetor associado a , completariam uma base com autovetores. Mas estávamos precisando de autovetores, logo nossa matriz NÃO É DIAGONALIZÁVEL.
Resposta
- Demonstração
- Demonstração