Seja uma transformação linear dada por:

(a) Calcular os autovalores de T.

(b) Calcular os autovetores de T.

(c) T é diagonalizável? Justificar. Em caso afirmativo, encontre uma base na qual a matriz de T é uma matriz diagonal D. E exiba D.

(a) Para calcular os autovalores de T, precisamos encontrar as raízes do polinômio característico, que é:

Vamos começar então encontrando a matriz :

Calculando o determinante e igualando a zero:

Então achamos os autovalores:

(b) Para encontrar os autovetores, usamos a definição de autovetor para cada autovalor que achamos na letra (a).

Vamos começar aplicando a definição para o autovalor .

Se é autovetor associado ao autovalor , então:

Ficamos então com o sistema:

Da primeira equação, tiramos que:

Substituindo na terceira:

Logo:

E a solução do sistema vai ser dada por:

Portanto, o autoespaço é:

Agora vamos fazer a mesma coisa para o autovalor .

Se é autovetor associado ao autovalor , então:

Vamos ficar com o sistema:

Da segunda equação, tiramos que:

Substituindo na primeira:

Então, a solução vai ser dada por vetores da forma:

E o autoespaço é:

(c) Lembra que uma matriz é diagonalizável somente se a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovetor de A é n??

A nossa matriz é uma matriz , e já calculamos os autoespaços associados a cada autovalor no item (b).

Nós vimos que:

Então:

que é menor do que 3.

Logo, T não é diagonalizável.