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Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, Psub - 2017, Questão 6

Sejam V um espaco vetorial real de dimensão 13   e   T   :   V   →   V um operador

linear cujo polinômio característico seja:

p ( t )   =   - t 8 ( t   -   1 ) 3 ( t   -   2 ) 2 .

Assinale a alternativa contendo uma igualdade que NÃO implique que T seja diagonalizável:

  1. d i m ( k e r ( T ) ) + d i m ( k e r ( T - I ) ) - d i m ( i m g ( T - 2 I ) ) = 0
  2. d i m ( k e r ( T ) ) + k e r ( i m g ( T - I ) ) + d i m ( i m g ( T - 2 I ) ) = 24
  3. d i m ( i m g ( T ) ) + k e r ( i m g ( T - I ) ) + d i m ( i m g ( T - 2 I ) ) = 26
  4. d i m ( i m g ( T ) ) + k e r ( i m g ( T - I ) ) + d i m ( k e r T - 2 I ) ) = 13
  5. d i m ( k e r ( T ) ) + k e r ( k e r ( T - I ) ) + d i m ( k e r ( T - 2 I ) ) = 13

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir qual das afirmações são verdadeiras. Bora resolver essa questão!!!

Bem, temos que

Temos o polinômio característico do operador T

p ( t )   =   - t 8 ( t   -   1 ) 3 ( t   -   2 ) 2 .

e queremos saber qual das afirmações não implica que T seja diagonalizável. Meio confuso, né? Mas vamos fazer assim. Vamos descobrir o que faz com que T seja diagonalizável.

Como as raízes do polinômio característico são

0   c o m   m u l t i p l i c i d a d e   8  

1   c o m   m u l t i p l i c i d a d e   3  

2   c o m   m u l t i p l i c i d a d e   2

então, para T ser diagonalizável, os autoespaços associados aos autovalores precisam formar um espaço de dimensão igual a multiplicidade de seu autovalor. Por exemplo. O auto espaço associado ao autovalor 0 precisa ter dimensão 8 .

Passo 2

Agora, qual é a dimensão do auto espaço? Bem, o autoespaço associado ao autovalor x é

k e r ( T - x I )

Logo como os autovalores são

0   c o m   m u l t i p l i c i d a d e   8  

1   c o m   m u l t i p l i c i d a d e   3  

2   c o m   m u l t i p l i c i d a d e   2

Para T ser diagonalizável, precisamos que

d i m ( k e r ( T ) ) = 8

d i m ( k e r ( T - I ) ) = 3

d i m ( k e r ( T - 2 I ) ) = 2

Como T   :   V   →   V , e V tem dimensão 13 . Então pelo teorema do núcleo e da imagem, que diz que

d i m ( V ) = d i m ( k e r ( T ) ) + d i m ( i m g ( T ) )

temos que

d i m ( i m g ( T ) ) = 5

d i m ( i m g ( T - I ) ) = 10

d i m ( i m g ( T - 2 I ) ) = 11

Com esses valores, podemos observar que a única igualdade que não é satisfeita é a

d i m ( k e r ( T ) ) + k e r ( i m g ( T - I ) ) + d i m ( i m g ( T - 2 I ) ) = 24

pois

d i m ( k e r ( T ) ) + k e r ( i m g ( T - I ) ) + d i m ( i m g ( T - 2 I ) ) = 5 + 10 + 11

= 26

Logo, essa é a afirmação que não implica que T seja diagonalizável

Logo a alternativa correta é a letra b )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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