USP – Álgebra Linear – P2 2020 – Questão 2
Sejam o operador linear cuja matriz relativamente à base canônica de é , em que são números reais que satisfazem . Então
a) é diagonalizável se
b) é diagonalizável se
c) é diagonalizável se
d) não é diagonalizável
e) é diagonalizável se
Passo 1
Oii pessoal, tudo tranquilo? Vamos lá pra mais uma questão de álgebra?
Aqui vamos falar sobre a diagonalização de uma transformação linear
Temos uma transformação linear em que a matriz dela em relação à base canônica é
E aí queremos saber para qual das condições dadas nas alternativas podemos discutir uma diagonalização dessa matriz.
Galera, pra que essa matriz seja diagonalizável, precisamos encontrar uma base de 3 autovetores.
Ou seja: vamos encontrar os autovalores e os autovetores associados a cada um. A matriz só vai ser diagonalizável se tivermos um total de 3 autovetores LI (porque a matriz é )
Então vamos?
Passo 2
Temos essa matriz:
Vamos começar encontrando os autovalores - calculando o polinômio característico e igualando a
Calculando o determinante:
Igualando o polinômio característico a :
As raízes dessa equação são (de ordem dupla) e
Então esses são os nossos autovalores :P
Agora vamos encontrar os autovetores. Para que a matriz tenha uma base com 3 autovetores, precisamos encontrar uma base de 2 autovetores associados ao autovalor (porque ele é de ordem dupla). Se tivermos menos do que isso, não vai ser diagonalizável
Passo 3
Então vamos encontrar os autovetores associados ao autovalor :
Os autovetores vão satisfazer essa igualdade:
Multiplicando as matrizes:
Que nos dá o sistema:
Como é um autovalor de ordem dupla, precisamos encontrar uma base de 2 autovetores LI associados a ele. Ou seja, o sistema acima precisa ser possível indeterminado (para ter mais de uma solução)
Isso vai acontecer se , porque aí vamos ter:
E ficamos com as variáveis livres e , o que vai nos dar uma solução com dimensão 2 (uma relacionada a cada variável)
Portanto, temos que a matriz é diagonalizável se , alternativa C
Resposta
c) é diagonalizável se