USP - Álgebra Linear 1 - P3 – 2016 – Questão 8
Sejam tais que e sejam os autovalores da matriz
e seja fixado um sistema de coordenadas no plano, com uma
base ortonormal. Considere a elipse de equação:
Uma equação reduzida para essa elipse é:
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bacana pois é sobre formas quadráticas!!!! Como de costume, vamos anotar as informações do enunciado.
Nossa matriz
Tem autovalores
E temos a elipse com equação:
Queremos a equação reduzida da elipse. Isto é queremos escrever essa equação na forma
Passo 2
Nosso objetivo é escrever a equação da elipse de modo que ela fique na forma
Mas como fazemos isso?
Vamos usar a diagonalização!!!! Mas como assim???? Vem comigo!!!
a equação da elipse pode ser reescrita da seguinte forma:
Então se conseguíssemos escrever como uma matriz diagonal, o termo cruzado () iria desaparecer. Mas é uma matriz quadrada, simétrica, e temos seus autovalores. Logo, existe uma base onde é diagonal.
A pergunta agora é: Que base é essa? E como fica nessa nova base?
Passo 3
Para responder as perguntas que fizemos no passo anterior, vamos lembrar que como é diagonalizável, então
Então
Normalizando os autovetores, temos que:
com matriz diagonal onde suas entradas são os autovalores de
Tá, mas como usamos isso a nosso favor? Vamos fazer a seguinte mudança de base:
Vamos substituir isso na nossa expressão. Ela fica:
então:
Passo 4
Prontinho, agora só precisamos desenvolver a expressão
Lembrando que é:
então
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊