USP, Álgebra Linear 2, 2020.1, P2, Q12
Seja um operador linear e seja a matriz de em relação à base canônica de . Se
Em que denota o operador identidade de , então a soma de todos os elementos de é igual a:
Escolha uma opção:
- 16
- 9
- 11
- 13
- 10
Passo 1
Faaala, pessoal! Estamos aqui trabalhando com o conceito de autovetores e autovalores e devemos recordar que se há uma base de autovetores de , teremos diagonalizável e:
Onde as colunas de são os autovetores e é uma matriz diagonal com os autovalores por elementos.
Observe que se , temos:
O que implica em e serem autovalor e autovetor, respectivamente.
Passo 2
Dessa forma, são autovalores e são autovetores. Estes autovetores, segundo teorema, são L.I., uma vez que advêm de autovalores distintos. Assim, podemos construir e :
Para determinar , basta agora inverter . Assim, escalonemos:
Assim,
Passo 3
Agora, basta multiplicar as matrizes usando:
Cuja soma de todos os elementos é .
Resposta
- 10