A5 T6
A dimensão da imagem de é e seu polinômio característico é . Assinale a alternativa VERDADEIRA
A dimensão do autoespaço associado ao autovalor é igual a
A matriz é diagonalizável
A dimensão do autoespaço associado ao autovalor zero é igual a
Passo 1
Vamos analisar letra por letra:
Letra
Pelo polinômio característico, o autovalor tem multiplicidade algébrica . Logo, sua multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço associado ao autovalor) pode ser no máximo igual a e nunca .
Letra
O polinômio de é do terceiro grau, logo, é . Pelo , como a dimensão da imagem de é a dimensão do núcleo tem de ser .
Para que seja diagonalizável, precisamos que a soma das dimensões dos autoespaços de seja igual a . Logo, para respeitar o limite da multiplicidade algébrica, o autoespaço associado ao teria que ter dimensão e o associado ao teria que ter dimensão .
Mas o autoespaço associado ao é justamente o núcleo da matriz! E vimos que a dimensão dele é apenas , e não . Logo, não é diagonalizável.
Letra
Para calcular os autovalores de resolvemos:
Logo, se temos , isso quer dizer que é autovalor de . Mas ele não é raiz do polinômio característico, então isso é impossível. Essa é falsa.
Letra
Como vimos na letra , a dimensão do núcleo de é . Como o núcleo é justamente o autoespaço associado ao autovalor , a afirmativa está correta.
Resposta
Letra