UFPE, Álgebra Linear I, 2 a EE -2017.2, Questão 4
Considere que a matriz abaixo é de uma transformação linear e que é a base canônica de
- Determine o polinômio característico de
- Para que valor(es) de a transformação tem apenas um autovalor Determine o autoespaço
- é diagonalizável para algum valor de
Passo 1
- Vamos encontrar o polinômio característico:
- Para , nosso polinômio característico fica e sua única raíz é 1, logo só terá autovalor .
Passo 2
Agora, qual o autoespaço associado a ele?
Vamos substituir na matriz e achar:
Como , vamos ter o seguinte sistema:
Assim,
Passo 2
c)
Queremos, agora, saber se para algum valor de essa transformação é diagonalizável. Para ser diagonalizável, preciso que a multiplicidade geométrica dos seus autovalores seja igual à algébrica!
Temos que para , a multiplicidade algébrica é 3 pelo polinômio característico e a multiplicidade geométrica é 1 já que a dimensão de é 1.
Logo, nesse caso não é diagonalizável!
Agora, para , nosso polinômio seria. O autovalor teria multiplicidade algébrica 1, mas, mesmo que sua multiplicidade geométrica também fosse 1, a diferença de multiplicidades do autovalor 1 faria a transformação não ser diagonalizável.
Pois nesse caso, a multiplicidade algébrica do vai ser 2 e a geométrica continua sendo 1.
Resposta
a)
b)
c) Não