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Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, 2º Estágio - 2021.2, Questão 5

Determine o raio e o intervalo de convergência absoluta da seguinte série de potências:

∑ n = 2 + ∞ x n n ln ⁡ n

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar o raio e o intervalo de convergência absoluta da seguinte série:

S = ∑ n = 2 + ∞ x n n ln ⁡ n

E aí??? Como a gente resolve isso???

Bom, uma forma é termos ideia do Teste da Razão, que é descrito da seguinte forma:

Supondo a série de termos positivos ∑ a n , se calcularmos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Onde a n é um termo genérico da série e a n + 1 é o termo que vem depois dele, então:

  • Se 0 ≤ L < 1 então ∑ a n converge;
  • Se L > 1 ou L → ∞ então ∑ a n diverge;
  • Se L = 1 não podemos dizer nada.

Assim, vale lembrar que o raio de convergência R é dado por:

R = 1 L

E o intervalo de convergência é entendido a partir do raio.

Agora bora lá!!

😉

Passo 2

Dessa forma, aplicando o Teste da Razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 ln ⁡ n + 1 x n n ln ⁡ n ∴

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n * x n + 1 n + 1 ln ⁡ n + 1 * x n ∴

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n * x n * x n + 1 ln ⁡ n + 1 * x n ∴

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n * x n + 1 ln ⁡ n + 1 ∴

Colocando o x para fora do limite, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = x * lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n n + 1 ln ⁡ n + 1

Agora precisamos simplificar ainda mais aquele limite utilizando a Regra de L’Hospital.

Passo 3

Aplicando L’Hospital (ou seja, derivando numerador e denominador) em lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n n + 1 ln ⁡ n + 1 , temos:

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n n + 1 ln ⁡ n + 1 = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 1 + ln ⁡ n + 1

Aplicando L’Hospital novamente, temos:

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n n + 1 ln ⁡ n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 n + 1 ∴

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n n + 1 ln ⁡ n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n ∴

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n n + 1 ln ⁡ n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n ∴

Aplicando o limite, descobrimos que:

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n n + 1 ln ⁡ n + 1 = 1

Assim, descobrimos que o raio de convergência será igual a 1 .

Assim, podemos descobrir o intervalo de convergência, o qual é dado por:

- 1 < x < 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Raio de convergência é 1

Intervalo de convergência é - 1 < x < 1

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.9. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então: ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]