UFJF, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - UFJF - 2° Lista - 2022.2, Questão 1b
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto indicado.
b) no ponto .
Passo 1
Opa opa gente bonita, tudo na paz por aí?
Se essa questão for o problema, fica tranquilo que a gente já vai matar ela 😉
Aqui temos uma função de duas variáveis, , que obedece a equação:
Temos também um ponto que pertence ao gráfico de (uma superfície) que é dado por:
Queremos calcular a equação do plano tangente a superfície determinada por no ponto .
Tranquilo?!
Pra resolver esse tipo de questão, precisamos principalmente lembrar da equação geral para plano tangente ao gráfico de uma função em um ponto . Alguém aí tá lembrado?
Basicamente, a equação é determinada por:
Beleza, O ponto que aparece nessa expressão é justamente o ponto da superfície que o nosso plano está tangenciando. No caso dessa questão é .
Oxe, mas do nada brotou uma função . O que que é isso?
Então gente, essa função é obtida da seguinte forma:
1) Pegamos a função dada e substituímos por :
2) Jogamos todas as variáveis para o lado esquerdo da equação:
3) Chamamos de a equação deixada do lado esquerdo da equação:
Prontinho! Essa é a nossa .
Pra calcular o seu gradiente, basta fazermos:
E depois aplicamos no ponto .
Perfeito! Vamos então calcular o gradiente de no ponto e depois substituímos na equação geral do nosso plano tangente.
Passo 2
Bom, começando pelo cálculo do gradiente, temos a função:
E queremos calcular:
Iniciando pela derivação em relação a , vem:
Lembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas:
Além disso, apenas não é uma constante nessa derivação. E, a derivada de qualquer constante é sempre nula. Logo:
Excelente! Derivando agora em relação a , temos:
Novamente separando as somas:
Agora apenas os termos envolvendo não são constantes, o restante possui derivada nula. Portanto:
Por último, mas não menos importante haha, vamos derivar em relação a :
Como apenas não é constante, ficamos com:
Dica importante galera: quando montamos dessa forma, a derivada parcial em relação a sempre vale .
Show! Juntando tudo, temos que:
Como queremos o gradiente no ponto , temos:
Prontinho!
Passo 3
Agora que já temos o gradiente no ponto de interesse, precisamos apenas juntar todas as informações na nossa equação geral para o plano tangente:
Lembrando que e que:
Ficamos com:
Fazendo o produto escalar:
Logo:
E é issooo! Matamos mais uma questão.
Vocês curtiram? Responde Aí!