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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 34

Determine a equação da reta tangente à curva

s e c 2 ( x   +   y )   +   c o s 2 ( x   +   y )   =   3

no ponto ( π / 4   , 0 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é determinar a equação da reta tangente a curva

s e c 2 ( x   +   y )   +   c o s 2 ( x   +   y )   =   3

no ponto ( π / 4   , 0 )

Passo 2

Para encontrarmos a reta tangente, vamos começar calculando a derivada da função em função de x .

Para isso, vamos usar a derivação implícita. Temos que

d d x y ( x ) = y ' ( x )

Então, derivando dos dois lados

s e c 2 ( x   +   y )   +   c o s 2 ( x   +   y )   =   3

d d x s e c 2 ( x   +   y )   +   c o s 2 ( x   +   y )   = d d x   3

Usando a regra da cadeia e o fato que

d d x s e c ( x ) = s e c ( x ) t g ( x )

Então

d d x s e c 2 ( x   +   y )   +   c o s 2 ( x   +   y )   = d d x   3

2 s e c ( x + y ) * s e c ( x + y ) t g ( x + y ) ( 1 + y ' ) - 2 c o s ( x + y ) s i n ( x + y ) ( 1 + y ' ) = 0

Logo, substituindo os valores de x = π / 4   ;   y = 0 temos:

2 s e c ( π / 4 ) * s e c ( π / 4 ) t g ( π / 4 ) ( 1 + y ' ) - 2 c o s ( π / 4 ) s i n ( π / 4 ) ( 1 + y ' ) = 0

Então

4 ( 1 + y ' ) - ( 1 + y ' ) = 0

logo

y ' = - 1

Agora que temos a derivada, podemos calcular o coeficiente da reta tangente em qualquer ponto

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao ponto ( π / 4   , 0 ) . Então

m = y ' = - 1

Logo, a reta tangente ao ponto ( π / 4   , 0 ) é dada por

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Então a reta é

y = - 1 ( x - π / 4 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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