UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 6
Encontre uma equação para a reta que contém o ponto (−2, 3) e é tangente à curva .
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente determinar uma reta que contenha o ponto (-2, 3) e que seja tangente à função dada. Primeiro, notemos que, como a reta tem que ser tangente à função , ela deve conter algum ponto da função y(x). De fato, o ponto (-2,3) pertence à função pois quando x =-2
Então, à reta tangente à função no ponto (-2, 3) satisfaz as condições que queremos: conter o ponto (-2,3) e ser tangente à curva y(x). Ent��o só precisamos determinar a reta tangente à y(x) nesse ponto! E como a gente faz isso? Bem, a gente sabe que a reta é uma função bastante simples, porque só possui dois parâmetros: coeficiente angular e coeficiente linear.
Então, a gente sempre pode escrever uma reta no formato:
Primeiro a gente só precisa determinar a inclinação dessa reta. Para isso, vamos calcular a derivada da função, já que sua derivada nos retorna a inclinação da reta tangente à cada ponto da curva. Então vamos lá derivar!
Passo 2
A nossa função é uma função polinomial do tipo . Como a derivada de uma função do tipo é simplesmente
Então, a derivada de y(x) é dada por
No ponto com coordenada x = -2, temos que a inclinação da reta tangente é, portanto:
Então agora a gente já tem a inclinação da reta! Agora só precisamos determinar seu coeficiente linear b. Então vamos lá!
Passo 3
Com a informação da inclinação a da reta e de um ponto contido nessa reta (o ponto (-2,3)), já temos informação suficiente para determinar o coeficiente linear! Como a reta passa por esse ponto, podemos escrever sua equação com o coeficiente angular calculado anteriormente para determinar seu coeficiente linear
Então, temos que b é simplesmente dado por
Eureka! Agora já temos os dois coeficientes da reta que contém o ponto (-2,3) e que é tangente à curva 7-x². A equação dela é dada por