Questão 3: Seja f : R → R dada por

f x = - 6 x - 3 x - 2                 ,         s e       x ≥ 1   4 x - 1                           ,         s e       x < 1                

c) Encontre o ponto do gráfico de f x onde a reta tangente é paralela à reta y = x - 5 .

Passo 1

Bem, para uma reta tangente a curva ser paralela a essa reta dada, uma coisa importante tem que acontecer... O coeficiente angular dessas retas deve ser igual. Como a derivada é o coeficiente angular da reta tangente... Buscamos x tal que...

f ' x = 1

1 é o coeficiente angular da reta y = 1 ⋅ x - 5 , beleza?

Passo 2

Vamos derivar a função e aplicar essa igualdade...

f ' x = - 6 x - 3 x - 2 '               ,         s e       x > 1   4 x - 1 '                           ,         s e       x < 1                

Calculando essas derivadas começando pela de cima...

- 6 x - 3 x - 2 ' = - x - 2 6 x - 3 ' - 6 x - 3 x - 2 ' x - 2 2 =

- x - 2 6 - 6 x - 3 x - 2 2 =

- 6 x - 12 - 6 x + 3 x - 2 2 = 9 x - 2 2

Calculando a outra derivada...

4 x - 1 ' = 4

Então...

f ' x = 9 x - 2 2               ,         s e       x > 1   4                           ,         s e       x < 1                

Repare que não temos a informação da derivada em x = 1 , pois não sabemos nem se a função é diferenciável em 1 , mas isso não importa muito aqui, só te falei para não te assustar ;)

Passo 3

Bem, sabemos que...

f ' x = 1

A derivada tem que ser igual a 1 , então só podemos estar falando de um x maior que 1 ...

9 x - 2 2 = 1       →

x - 2 2 = 9     →

x - 2 = ± 3

então ou x = - 1 ou x = 5 , como x tem que ser maior que 1 ... x = 5 é o ponto procurado, sacou?

f 5 = - 6 5 - 3 5 - 2 = - 9

Então 5 ,   - 9 é o ponto da função onde a reta tangente é paralela a equação dada.

Resposta

5 ,   - 9

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