UFJF, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - UFJF - 2° Lista - 2022.2, Questão 2
Dada a função , determine e classifique seus pontos críticos.
Passo 1
Ooii pessoal, tudo bom?
O enunciado nos deu uma função de duas variáveis:
E, nos pediu para determinar e classificar os pontos críticos dessa função.
Bom, antes de tudo, chamamos de ponto crítico a dupla que satisfaz:
simultaneamente, ou que não existe a derivada parcial nesse ponto.
Como a nossa função não possui nenhuma restrição matemática quanto à derivada parcial (pois é um polinômio, bem bonito e elegante haha), pra determinar os pontos críticos precisaremos resolver o sistema com ambas derivadas parciais nulas.
Mas, e como é que classificamos os pontos críticos no caso de função de duas variáveis?
Então, para função de duas variáveis um ponto crítico pode ser ponto de máximo, ponto de mínimo ou ponto de sela. Pra verificar isso, devemos calcular o Hessiano:
Onde é justamente o ponto que determinamos anteriormente como ponto crítico. E, , por exemplo, é a segunda derivada de em relação a .
Tá, mas o que é que nos ajuda esse determinante?
Então gente, podemos classificar o ponto crítico a partir do resultado do Hessiano:
1) é ponto de máximo ou de mínimo:
Se é ponto de mínimo
Se é ponto de máximo
2) é ponto de sela
3) não conseguimos classificar.
Tranquilo?
Sendo assim, vamos primeiro determinar os pontos críticos de e depois usamos o Hessiano para classificá-lo.
Let’s go!!!
Passo 2
Pra começar, vamos determinar quem são os pontos críticos de .
Como falamos no passo , precisamos resolver o sistema:
Então, antes de tudo temos que calcular as derivadas parciais.
Primeiro, derivando em relação a , vem:
Usando que a derivada da soma é a soma das derivadas, ficamos com:
Como os termos que não envolvem são constantes, sua derivada é nula.
Boaaa!
Vamos agora derivar em relação a :
Novamente separando os termos somados:
Agora, os termos que não envolvem que são constantes, e, portanto, possuem derivada nula. Logo:
Voltando para o nosso sistema envolvendo as derivadas parciais, vamos ter:
Resolvendo a equação:
Por inspeção, temos que e são raízes.
Resolvendo agora a equação, temos:
Logo, e são raízes.
Portanto, combinando essas soluções em pares , temos pontos críticos:
Excelente! Vamos agora utilizar o Hessiano para classificar esses pontinhos 😊
Passo 3
Puts, quatro pontinhos pra calcular o Hessiano vai dar um trabalhinho... Mas, tem alguns processos que precisamos adiantar. Lembra que o Hessiano vale:
Então, vamos precisar conhecer de antemão essas funções obtidas por derivar duas vezes.
Começando por , já vimos no passo anterior que:
Derivando mais uma vez em relação a , temos:
Beleza!
Podemos agora calcular , basta fazermos:
Como os termos que envolvem funcionam como constante quando derivamos em relação a , temos:
Indo então para , podemos também utilizar o resultado do passo anterior:
Derivando em relação a , obtemos :
Show! Por último, derivando em relação a , temos:
Novamente, como nenhum termo depende de , temos:
Olha que bonito! Se substituirmos esses resultados no Hessiano, ficamos com:
Perfeito! Agora ficou muito mais tranquilo de classificarmos os pontos, basta substituirmos nessa expressão 😊
Passo 4
Nossos pontos críticos são:
E, O Hessiano vale:
Começando a análise por , temos:
Ou seja:
Além disso,
Relembrando os critérios de classificação:
1) é ponto de máximo ou de mínimo:
Se é ponto de mínimo
Se é ponto de máximo
2) é ponto de sela
3) não conseguimos classificar.
Temos, portanto que:
é um ponto de máximo!
Vamos agora analisar :
Portanto, como , chegamos a conclusão que:
é um ponto de sela!
Estamos indo bem!
Analisando temos:
Portanto:
também é um ponto de sela!
Pra finalizar (uhuul), vamos analisar :
Além disso:
Ou seja:
é um ponto de mínimo!
Então galerinha, resumindo, encontramos o seguinte:
E, é isso gente! Espero que vocês tenham conseguido entender tudoo 😊
Até a próxima!!