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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 33

Suponha que a equação

  x x y 2 - ( x - 1 ) 3 y = 1

defina implicitamente   y   =   f ( x )   p a r a   x > 0 ;   y   >   0 .

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( 1   , f ( 1 ) ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( 1   , f ( 1 ) ) .

onde

  x x y 2 - ( x - 1 ) 3 y = 1

  p a r a   x > 0 ;   y   >   0

Passo 2

Vamos começar calculando

f ( 1 )

Temos que

  x x y 2 - ( x - 1 ) 3 y = 1

Fazendo x = 1

  y 2   =   1

Logo,

y = 1

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função em função de x .

Para isso, vamos usar a derivação implícita. Temos que

d d x y ( x ) = y ' ( x )

Então, derivando dos dois lados

  x x y 2 - ( x - 1 ) 3 y = 1

d d x   x x y 2 - ( x - 1 ) 3 y = d d x 1

Usando a regra da cadeia

d d x   ( x x y 2 ) - 3 y - ( x - 1 ) 3 y l n ( 3 ) y '   = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular

d d x ( x x )

fazendo

I ( x ) = ( x x )

Então,

l n ( I ( x ) ) = x l n ( x )

derivando

1 I ( x ) I ' ( x ) = 1 2 x - 1 / 2 l n ( x ) + x - 1 / 2

Logo,

I ' ( x ) = 1 / 2   x ( - 1 / 2   +   s q r t ( x ) )   ( 2   +   l o g ( x ) )

Passo 5

Ou seja, temos que a derivada da equação é

d d x   ( x x y 2 ) - 3 y - ( x - 1 ) 3 y l n ( 3 ) y '   = 0

1 / 2   x ( - 1 / 2   +   s q r t ( x ) )   ( 2   +   l o g ( x ) ) y 2 + x x 2 y y ' - 3 y - ( x - 1 ) 3 y l n ( 3 ) y '   = 0

Agora, calculamos f ' ( 1 ) . Lembrando que quando x = 1 , y = 1

Fazendo x = 1 , temos que y = 1 .Logo

1 / 2   x ( - 1 / 2   +   s q r t ( x ) )   ( 2   +   l o g ( x ) ) y 2 + x x 2 y y ' - 3 y - ( x - 1 ) 3 y l n ( 3 ) y '   = 0

⇒ 1 + 2 y ' - 3 = 0

Logo

y ' = 1

Então

m = y ' = 1

= - 4 - 3 6 - 3 + 2

= - 7 5

Logo, a reta tangente ao ponto ( 1   , f ( 1 ) ) é dada por

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Então a reta é

y - 1 = ( x - 1 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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