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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 27

Determine uma equação da reta tangente à curva

  x y 3 =   14 x + y

no ponto ( 2 ,   - 32 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é calcular a equação da reta tangente a equação

  x y 3 =   14 x + y

no ponto ( 2 ,   - 32 )

Passo 2

Para encontrarmos a reta tangente, vamos começar calculando a derivada da função em função de x .

Para isso, vamos usar a derivação implícita. Temos que

d d x y ( x ) = y ' ( x )

Então, derivando dos dois lados

  x y 3 =   14 x + y

d d x   x y 3 = d d x 14 x + y

Usando a regra da cadeia

1 3 ( x y ) - 2 / 3 * ( y + x y ' ) = 14 + y '

1 3 ( x y ) - 2 / 3 * y - 14 = - y ' x ( 1 3 ( x y ) - 2 / 3 ) + y '

Logo

y ' = 1 3 ( x y ) - 2 / 3 * y - 14 1 - x ( 1 3 ( x y ) - 2 / 3 )

Agora que temos a derivada, podemos calcular o coeficiente da reta tangente em qualquer ponto

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao ponto ( 2 , -   32 ) . Então

m = y ' = y ' = 1 3 ( x y ) - 2 / 3 * y - 14 1 - x ( 1 3 ( x y ) - 2 / 3 )

y ' = 2 3 - 14 1 + 1 24

Logo, a reta tangente ao ponto ( 2 ,   3 ) é dada por

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Então a reta é

y + 32 = 2 3 - 14 1 - 1 24 ( x - 2 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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