Seja derivável, inversível, com inversa derivável e tal que , . A equação da reta tangente ao gráfico da inversa de no ponto é:
Passo 1
Vamos chamar a inversa de de . A equação da reta tangente a no ponto é dada por:
onde o coeficiente angular é a tangente de no ponto dado.
Para obter a equação da reta tangente que queremos, temos que encontrar os valores de e .
Passo 2
Vamos começar achando o valor de . O enunciado não nos dá nenhuma informação sobre , apenas sobre . Pode parecer que está faltando dados para fazer a questão, mas não está. Lembre-se que se uma função sai de um valor e resulta num valor , a sua inversa sai desse valor e resulta no valor . Por isso, se
significa que
Como concluímos que
Passo 3
Agora temos que descobrir o coeficiente angular . Sabemos que ele é a derivada de quando . Lembra do Teorema da Função Inversa? Ele nos permite usar a seguinte relação
No final das contas, essa relação nos diz que a derivada da função inversa é o inverso da derivada da função. Nesse caso,
Passo 4
Finalmente podemos escrever a equação da reta tangente a inversa de .
Resposta
c.