Considere a função definida por:
- Encontre o valor de para que a função seja contínua.
- Encontre a reta tangente a no ponto .
Passo 1
Vamos começar com a letra , Primeiro, analisamos a continuidade como um todo. Veja que para valores de , temos um log sempre positivo e que será, portanto, contínuo no seu domínio.
Para valores entre , temos uma fração que nunca zera o denominador e tem numerador contínuo, o cosseno.
Dessa maneira, resta discutir a continuidade somente no ponto onde a função troca de expressão, o ponto .
Passo 2
Para que a função seja contínua nesse ponto, precisamos que:
Como a função muda de expressão à esquerda e à direita do ponto, usamos os limites laterais. Então vamos calculá-los.
O limite lateral pela esquerda se refere a valores menores que , então usamos a expressão de baixo:
Substituindo o ponto desse limite, temos:
Que é uma indeterminação de L’Hôpital, então vamos aplicá-lo:
Substituindo no ponto novamente:
Ficando então, lembrando que temos uma constante no limite:
Passo 3
O limite lateral pela direita se refere a valores maiores que , ou seja, usamos a primeira expressão:
Também, substituindo no ponto:
Como vimos, para que seja contínua:
Como o limite acima depende dos limites laterais, para que exista:
Para que a igualdade seja satisfeita, precisamos que:
Passo 4
Vamos para a letra agora.
A equação geral da reta tangente num ponto é:
Assim, no ponto do problema, teremos:
Precisamos calcular então .
Passo 5
Para esse cálculo, vamos derivar a função. Como , usamos a primeira expressão:
Como temos uma função composta, usamos a regra da cadeia para derivar, para tal consideramos que é o que está dentro do log, ficando:
Sendo:
E:
Substituindo, temos:
No ponto :
Passo 6
Substituindo na equação geral, temos:
Como , então:
Como vimos, temos , ficando: