Suponha que a equação

y^2 * 3^(2x) - 36(x - 1) · 2^y = 9

defina implicitamente y = f(x) para y < 0 .

Determine f(1) e f'(1)

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é determinar   f ( 1 )   e   f ' ( 1 ) . onde

  y 2 3 2 x   −   36 ( x   −   1 )   ·   2 y   =   9

Passo 2

Vamos começar calculando

f ( 1 )

Temos que

  y 2 3 2 x   =   9

Fazendo x = 1

  9 y 2   =   9

⇒ y 2 = 1

Logo,

y = - 1

Resolvendo,

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função em função de x .

Para isso, vamos usar a derivação implícita. Temos que

d d x y ( x ) = y ' ( x )

Então, derivando dos dois lados

  y 2 3 2 x   −   36 ( x   −   1 )   ·   2 y   =   9

d d x   y 2 3 2 x   −   36 ( x   −   1 )   ·   2 y   = d d x   9

Usando a regra da cadeia

2 y y ' + y 2 3 2 x l n ( 3 ) * 2     - 36 + 36 * 2 y l n ( 2 ) y '   = 0

Agora, calculamos f ' ( 1 ) .

Fazendo x = 1 , temos que y = - 1 .

- 2 y ' + 18 l n ( 3 ) - 36 + y ' l n ( 2 ) * 18 = 0  

⇒ y '   =   18 + 9 l n ( 3 ) 9 l n ( 2 ) - 1

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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