1ºEE – Cálculo 1 – UFPE – 2022.2 – Questão 4
4 Considere a função
a) Determine a equação cartesiana da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa .
b) Obtenha três pontos e pertencentes ao gráfico de , para os quais as retas tangentes são paralelas à reta
Passo 1
Fala meus chuchuzinhos da UFPE, bora matar essa questão de Cálculo 1?
Nessa questão, nós temos uma aplicação de derivada que é, a derivada indica a inclinação da reta tangente da função em um ponto. A gente pode chamar essa inclinação de .
Uma reta possui uma equação cartesiana que é dada por:
E como queremos a reta que é tangente a função no ponto , vamos encontrar a derivada dessa função para e essa derivada será exatamente a inclinação da reta.
Para encontrar o valor de da reta, vamos utilizar o que sabemos dela, que basicamente é, essa reta é tangente ao gráfico de em , isso significa que em , o valor da ponto na reta é igual ao valor do ponto na função, sendo assim, podemos encontrar o da reta nesse ponto encontrando o da função nesse ponto.
Matematicamente, podemos dizer que:
Vamos lá!
Passo 2
Primeiramente, vou encontrar a inclinação da nossa reta tangente, encontrando a derivada da função em .
Agora que eu sei a inclinação da reta, eu sei que a equação da reta é algo assim:
Passo 3
Precisamos encontrar esse coeficiente ... Bom, vamos encontrar um ponto dessa reta, encontrando o valor de , pois como a reta é tangente à em , isso é o mesmo que falar que
Vamos encontrar então o nosso
Portanto:
Sendo assim a equação cartesiana da reta tangente ao gráfico em é:
Passo 4
Para a letra b, queremos encontrar três pontos que pertençam ao gráfico de e que possuem reta tangente que são paralelas à reta
Essa reta possui uma inclinação , certo?
Para ser paralelo à essa reta, só basta você ser uma reta com inclinação , basicamente esse é o conceito de ser paralelo, possuir a mesma inclinação. Então, o que queremos encontrar aqui é basicamente quais são os pontos em que a derivada da função vale 2.
Lembrando a nossa derivada que é:
Podemos aqui passar o para a esquerda, de forma que igualamos a equação a zero e temos:
Os valores de que respeitam a equação acima, são pontos onde a derivada vale .
Como não temos nenhum termo independente, certamente é um valor correto, pois zera todos os termos da esquerda, portanto, podemos reescrever a equação como:
Podemos encontrar os demais valores de encontrando as raízes de e para isso vamos usar Bhaskara.
Portanto, encontramos os valores desses pontos com derivada igual a . Agora vamos encontrar os valores desses pontos.... como sabemos que eles pertencem a função, é só substituir os valores de na nossa função que encontraremos os valores de dos nossos pontos:
Portanto,
Agora vamos fazer ...
Portanto,
E por fim, o ponto ...
Portanto, !
Resposta
a)
b)