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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

Regras de Derivação II

Considere a função f x = sen ⁡ tg ⁡ x 2 + x + 4 x 2 + 1 .

( a ) Usando regras de derivação, determine a derivada de f .

( b ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0 .

Passo 1

( a ) Vamos derivar esse monstro aí usando a Regra do Quociente e da Cadeia:

f ' x = sen ⁡ tg ⁡ x 2 + x + 4 ' x 2 + 1 - sen ⁡ tg ⁡ x 2 + x + 4 x 2 + 1 ' x 2 + 1 2

=   cos ⁡ tg ⁡ x 2 tg ⁡ x 2 ' + 1 2 x + 4 x 2 + 1 - sen ⁡ tg ⁡ x 2 + x + 4 2 x x 2 + 1 2

= cos ⁡ tg ⁡ x 2 sec 2 ⁡ x 2 x 2 ' + 1 2 x + 4 x 2 + 1 - sen ⁡ tg ⁡ x 2 + x + 4 2 x x 2 + 1 2

= cos ⁡ tg ⁡ x 2 sec 2 ⁡ x 2 2 x + 1 2 x + 4 x 2 + 1 - sen ⁡ tg ⁡ x 2 + x + 4 2 x x 2 + 1 2

É isso aí, não tem como simplificar mais.

Passo 2

( b ) Em x = 0 a reta tangente ao gráfico terá coeficiente angular valendo f ' 0 , além de que a reta passará pelo ponto:

0 , f 0 = 0 , sen ⁡ tg ⁡ 0 + 0 + 4 0 + 1

= 0 , sen ⁡ 0 + 2 1

= 0,2

Bom, modelando a reta por y = a x + b vamos achar nosso a = f ' 0 :

a = cos ⁡ tg ⁡ 0 sec 2 ⁡ 0 0 + 1 2 0 + 4 0 + 1 - sen ⁡ tg ⁡ 0 + 0 + 4 0 0 + 1 2

= cos ⁡ 0 1 0 + 1 2 0 + 4 1 - sen ⁡ 0 + 2 0 1 2

= 1 2 ( 2 ) = 1 4

Ora, se y = x 4 + b passa em ( 0,2 ) , temos que:

2 = 0 4 + b → b = 2

Enfim, nossa reta será:

y = x 4 + 2

Resposta

a   f ' x = cos ⁡ tg ⁡ x 2 sec 2 ⁡ x 2 2 x + 1 2 x + 4 x 2 + 1 - sen ⁡ tg ⁡ x 2 + x + 4 2 x x 2 + 1 2

b   y = x 4 + 2

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