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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 30

Determine uma equação da reta tangente à curva

x 2   −   x 2 y   +   y 3   =   y 2   +   a r c t g ( x y   −   1 )

no ponto ( 1 ,   1 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc1!!! Nosso objetivo é calcular a equação da reta tangente a equação

x 2   −   x 2 y   +   y 3   =   y 2   +   a r c t g ( x y   −   1 )

no ponto ( 1 ,   1 )

Passo 2

Para encontrarmos a reta tangente, vamos começar calculando a derivada da função em função de x .

Para isso, vamos usar a derivação implícita. Temos que

d d x y ( x ) = y ' ( x )

E o fato que

d d x a r c t g ( x ) = 1 x 2 + 1

Então, derivando dos dois lados

x 2   −   x 2 y   +   y 3   =   y 2   +   a r c t g ( x y   −   1 )

d d x x 2   −   x 2 y   +   y 3   = d d x   y 2   +   a r c t g ( x y   −   1 )

Usando a regra da cadeia

2 x   −   ( 2 x y   + x 2 y ' ) + 3   y 2 y '   = 2 y y '   +   1 ( x y ) 2 + 1 ( y + x y ' )

Agora, vamos agrupar os termos.

2 x ( 1 - y ) +   y ' ( 3 y 2 - x 2 )   = 2 y y '   +   1 ( x y ) 2 + 1 ( y + x y ' )

Vamos deixar assim por enquanto

Agora que temos a derivada, podemos calcular o coeficiente da reta tangente em qualquer ponto

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao ponto   ( 1 ,   1 ) . Então substituindo em

2 x ( 1 - y ) +   y ' ( 3 y 2 - x 2 )   = 2 y y '   +   1 ( x y ) 2 + 1 ( y + x y ' )

Temos

  y ' 2   = 2 y '   +   1 2 ( 1 + y ' )

Logo,

0   =     1 2 ( 1 + y ' )

Portanto

y '   = - 1

Logo, a reta tangente ao ponto   ( 1 ,   1 ) é dada por

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Então a reta é

y - 1 = - 1 ( x - 1 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   A c i m a

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