Determine as equações das duas retas que passam pelo ponto 3,1 e que são tangentes a curva y = x 2 - 4

Passo 1

Vamos lá. Pra começar, bora pensar no seguinte. Essas retas são tangentes em pontos diferentes. Mas como a curva é:

y = x 2 - 4

Qualquer ponto de tangência P = x 0 , y 0 pode ser definido como:

P = x 0 , x 0 2 - 4

Agora nota o seguinte, toda reta tangente tem como equação genérica:

y = y ' x 0 ∙ x - x 0 + y 0

E algumas coisas aqui nós já temos em! Por exemplo, se sabemos y , sabemos y ' , e logo sabemos y ' x 0 :

y = x 2 - 4

y ' = 2 x

y ' x = 2 x

y ' x 0 = 2 x 0

E sabemos também que a coordenada y 0 do ponto de tangência é:

y 0 = x 0 2 - 4

Substituindo então, temos:

y = 2 x 0 ∙ x - x 0 + x 0 2 - 4

Passo 2

Ok, por enquanto parece que ficou mais enrolado. Afinal, escrevemos a equação da reta tangente em função das coordenadas x 0 de um ponto de tangência que não conhecemos! Mas veja bem, as duas retas passam por:

3,1

Já que é assim, podemos pegegar as coordenadas desse ponto e jogar na equação genérica da reta tangente:

1 = 2 x 0 ∙ 3 - x 0 + x 0 2 - 4

E opa, agora é só resolver essa equação. Resolvendo ela, achamos todas as coordenadas x 0 dos pontos de tangência, exatamente o que precisamos pra modelar nossas duas retas tangentes.

Passo 3

Mão na massa então. Resolvendo a equação, temos:

1 = 2 x 0 ∙ 3 - x 0 + x 0 2 - 4

1 = 6 x 0 -   2 x 0 2 + x 0 2 - 4

- x 0 2 + 6 x 0 - 4 = 1

- x 0 2 + 6 x 0 - 5 = 0

x 0 2 - 6 x 0 + 5 = 0

Beleza, polinômio de segundo grau a gente tira de letra se usarmos o que o tio Bháskara nos ensinou, que no caso é:

x 0 2 - 6 x 0 + 5 = a x 0 2 + b x 0 + c = a x 0 - x 0 1 x 0 - x 0 2

x 0 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Vamos ter então:

x 0 1,2 = 6 ± 36 - 4 ∙ 1 ∙ 5 2 = 6 ± 36 - 20 2 = 6 ± 16 2 = 6 ± 4 2

x 0 1,2 = 3 ± 2 = 5 1

Por fim:

x 0 2 - 6 x 0 + 5 = x 0 - 5 x 0 - 1 = 0

x 0 = 1       o u       x 0 = 5

E beleza, achamos os dois valores de x 0 . Agora é só modelar a equação da tangente com base nisso. Começando com x 0 = 1 :

y = 2 x 0 ∙ x - x 0 + x 0 2 - 4

y = 2 ∙ 1 ∙ x - 1 + 1 2 - 4

y = 2 x - 1 - 3

y = 2 x - 2 - 3

y = 2 x - 5

E para x 0 = 5 :

y = 2 x 0 ∙ x - x 0 + x 0 2 - 4

y = 2 ∙ 5 ∙ x - 5 + 5 2 - 4

y = 10 x - 5 + 25 - 4

y = 10 x - 50 + 21

y = 10 x - 29

Resposta

y = 2 x - 5

y = 10 x - 29

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