Determine as equações das duas retas que passam pelo ponto e que são tangentes a curva
Passo 1
Vamos lá. Pra começar, bora pensar no seguinte. Essas retas são tangentes em pontos diferentes. Mas como a curva é:
Qualquer ponto de tangência pode ser definido como:
Agora nota o seguinte, toda reta tangente tem como equação genérica:
E algumas coisas aqui nós já temos em! Por exemplo, se sabemos , sabemos , e logo sabemos :
E sabemos também que a coordenada do ponto de tangência é:
Substituindo então, temos:
Passo 2
Ok, por enquanto parece que ficou mais enrolado. Afinal, escrevemos a equação da reta tangente em função das coordenadas de um ponto de tangência que não conhecemos! Mas veja bem, as duas retas passam por:
Já que é assim, podemos pegegar as coordenadas desse ponto e jogar na equação genérica da reta tangente:
E opa, agora é só resolver essa equação. Resolvendo ela, achamos todas as coordenadas dos pontos de tangência, exatamente o que precisamos pra modelar nossas duas retas tangentes.
Passo 3
Mão na massa então. Resolvendo a equação, temos:
Beleza, polinômio de segundo grau a gente tira de letra se usarmos o que o tio Bháskara nos ensinou, que no caso é:
Vamos ter então:
Por fim:
E beleza, achamos os dois valores de . Agora é só modelar a equação da tangente com base nisso. Começando com :
E para :