UNB – P1 – 2020.2
Sabendo que as funções e são deriváveis em seus domínios, determine:
- Equação da reta tangente ao gráfico de pelo ponto
- O valor da constante sabendo que a inclinação da reta tangente ao gráfico de no ponto vale .
Passo 1
Fala aí, galerinha, essa questão é sobre retas tangentes, a letra “a” nos pede a reta tangente ao gráfico de pelo ponto . Vamos começar relembrando qual a fórmula da reta tangente:
Onde:
Então vamos identificar essas informações de acordo com o ponto dado no enunciado:
Como a nossa função é:
Então:
Agora quanto ao coeficiente angular:
Passo 2
Vamos começar calculando essa derivada para encontrar o coeficiente angular:
Sabendo que o valor da cossecante no ponto é:
A cotangente de é:
Voltando ao coeficiente:
Passo 3
Agora que já sabemos essas informações, vamos substituir todos os valores na expressão da reta tangente:
Teremos:
Logo a reta tangente tem a cara:
Fim do round da letra “a”!
Passo 4
Vamos para o segundo round, a letra “b” nos pede o valor da constante , sabendo o valor da inclinação da reta tangente. Bem, a inclinação da reta tangente é dada pelo coeficiente angular, que nós já vimos no item anterior que é:
Considerando que ela está falando da função , ela escolheu um ponto onde:
E o enunciado nos disse que a inclinação é , então vamos escrever essas relações:
Mas quem é ? É esse cara aqui:
Passo 5
O que temos que fazer nessa questão é derivar a função e substituir para comparar com o valor resultado que o enunciado nos deu, então vamos lá!
Derivando a função , percebemos que teremos que usar a Regra do Quociente:
Derivando e multiplicando, ficamos com:
Agora substituindo o valor de :
Agora vamos igualar isso ao valor do coeficiente angular:
Passo 6
Veja que comparando, nós temos:
Podemos cortar o valor de dos dois lados:
Tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Então:
Ou